Question

Найти частные производные: первого и второго порядков u=(x-y)(x-z)(y-z)

Answer 1

Ответ:

Частные производные первого порядка:

$\displaystyle \frac{ \partial u}{\partial x} \bigg ( x^{2} y - x^{2} z + y^{2}z - y^{2}x + xz^{2} - yz^{2} \bigg) = 2xy - 2xz -y^{2} + z^{2}$

$\displaystyle \frac{ \partial u}{\partial y} \bigg ( x^{2} y - x^{2} z + y^{2}z - y^{2}x + xz^{2} - yz^{2} \bigg) = x^{2} + 2yz - 2yx - z^{2}$

$\displaystyle \frac{ \partial u}{\partial z} \bigg ( x^{2} y - x^{2} z + y^{2}z - y^{2}x + xz^{2} - yz^{2} \bigg) = y^{2} -x^{2} + 2xz - 2yz$

Частные производные второго порядка:

$\displaystyle \frac{ \partial^{2} u}{\partial x^{2}} \bigg ( x^{2} y - x^{2} z + y^{2}z - y^{2}x + xz^{2} - yz^{2} \bigg) = 2y - 2z$

$\displaystyle \frac{ \partial^{2} u}{\partial y^{2}} \bigg ( x^{2} y - x^{2} z + y^{2}z - y^{2}x + xz^{2} - yz^{2} \bigg) = 2z - 2x$

$\displaystyle \frac{ \partial^{2} u}{\partial z^{2}} \bigg ( x^{2} y - x^{2} z + y^{2}z - y^{2}x + xz^{2} - yz^{2} \bigg) = 2x - 2y$

Все частные смешанные производные второго порядка равны нулю

Примечание:

Для того, чтобы найти полный дифференциал нужно сначала его записать формальном в общем виде. И затем найти частные производные. При нахождении частных производных счиатем, что диффеернцируется только, та часть по которой находится производная, а остальные части функции принимаем за константы.

По таблице производных:

$\boxed{(x^{n})' = nx^{n - 1}}$

Правила дифференцирования:

$(f_{1} \pm f_{2} \pm \ldots + f_{n})' = f'_{1} \pm f'_{2} \pm \ldots + f'_{n}$

Пошаговое объяснение:

$u = (x - y)(x - z)(y - z) = (y - z)(x^{2} - xz - yx + yz) =$

$= yx^{2} - xyz - y^{2}x + y^{2}z - zx^{2} + xz^{2} + xyz - yz^{2} =$

$= yx^{2} - y^{2}x + y^{2}z - zx^{2} + xz^{2} - yz^{2} = x^{2} y - x^{2} z + y^{2}z - y^{2}x + xz^{2} - yz^{2}$

Частные производные первого порядка:

$\displaystyle \frac{ \partial u}{\partial x} \bigg ( x^{2} y - x^{2} z + y^{2}z - y^{2}x + xz^{2} - yz^{2} \bigg) = 2xy - 2xz -y^{2} + z^{2}$

$\displaystyle \frac{ \partial u}{\partial y} \bigg ( x^{2} y - x^{2} z + y^{2}z - y^{2}x + xz^{2} - yz^{2} \bigg) = x^{2} + 2yz - 2yx - z^{2}$

$\displaystyle \frac{ \partial u}{\partial z} \bigg ( x^{2} y - x^{2} z + y^{2}z - y^{2}x + xz^{2} - yz^{2} \bigg) = y^{2} -x^{2} + 2xz - 2yz$

Частные производные второго порядка:

$\displaystyle \frac{ \partial^{2} u}{\partial x^{2}} \bigg ( x^{2} y - x^{2} z + y^{2}z - y^{2}x + xz^{2} - yz^{2} \bigg) = \frac{ \partial u}{\partial x} \bigg ( 2xy - 2xz -y^{2} + z^{2} \bigg)=$

$= 2y - 2z$

$\displaystyle \frac{ \partial^{2} u}{\partial y^{2}} \bigg ( x^{2} y - x^{2} z + y^{2}z - y^{2}x + xz^{2} - yz^{2} \bigg) = \frac{ \partial u}{\partial y} \bigg (x^{2} + 2yz - 2yx - z^{2} \bigg) =$

$= 2z - 2x$

$\displaystyle \frac{ \partial^{2} u}{\partial z^{2}} \bigg ( x^{2} y - x^{2} z + y^{2}z - y^{2}x + xz^{2} - yz^{2} \bigg) = \frac{ \partial u}{\partial z} \bigg ( y^{2} -x^{2} + 2xz - 2yz \bigg) =$

$= 2x - 2y$

$\displaystyle \frac{ \partial^{2} u}{\partial x \partial y} \bigg (x^{2} y - x^{2} z + y^{2}z - y^{2}x + xz^{2} - yz^{2} \bigg) = \frac{ \partial u}{\partial y} \bigg ( 2xy - 2xz -y^{2} + z^{2} \bigg)=$

$= 2y - 2y =0$

$\displaystyle \frac{ \partial^{2} u}{\partial x \partial z} \bigg (x^{2} y - x^{2} z + y^{2}z - y^{2}x + xz^{2} - yz^{2} \bigg) = \frac{ \partial u}{\partial z} \bigg ( 2xy - 2xz -y^{2} + z^{2} \bigg)=$

$= -2z + 2z = 0$

$\displaystyle \frac{ \partial^{2} u}{\partial y \partial z} \bigg (x^{2} y - x^{2} z + y^{2}z - y^{2}x + xz^{2} - yz^{2} \bigg) = \frac{ \partial u}{\partial z} \bigg ( y^{2} -x^{2} + 2xz - 2yz \bigg) =$

$= 2z - 2z =0$