Question

решите уравнение sin 7x+sin 3x =3cos 2x​

Answer 1

Формула суммы синусов:

$\sin\alpha +\sin\beta =2\sin\dfrac{\alpha +\beta }{2} \cos\dfrac{\alpha -\beta }{2}$

Рассмотрим уравнение:

$\sin 7x+\sin 3x =3\cos 2x$

$2\sin\dfrac{7x+3x}{2} \cos\dfrac{7x-3x}{2} =3\cos 2x$

$2\sin5x \cos2x=3\cos 2x$

$2\sin5x \cos2x-3\cos 2x=0$

$\cos 2x(2\sin5x-3)=0$

Уравнение распадается на два. Решаем первое уравнение:

$\cos 2x=0$

$2x=\dfrac{\pi }{2} +\pi n$

$x=\dfrac{\pi }{4} +\dfrac{\pi n}{2} ,\ n\in\mathbb{Z}$

Решаем второе уравнение:

$2\sin5x-3=0$

$\sin5x=\dfrac{3}{2}$

Но поскольку синус принимает значения только из отрезка от -1 до 1, то последнее уравнение не имеет корней.

Ответ: $\dfrac{\pi }{4} +\dfrac{\pi n}{2} ,\ n\in\mathbb{Z}$