Question

основание пирамиды является прямоугольный треугольник с гипотенузой 30 см и катетом 18см двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны 30 найдите объём конуса вписанного в данную пирамиду


быстрей пожалуйста​

Answer 1

Ответ:

Объём конуса, вписанного в данную пирамиду равен 24√3π см³.

Пошаговое объяснение:

Найти объём конуса, вписанного в данную пирамиду.

Дано: SABC - пирамида;

ΔАВС - прямоугольный - основание.

АС = 30 см - гипотенуза;

ВС = 18 см;

Угол наклона граней равен 30°.

Найти: Объем конуса, вписанного в пирамиду.

Решение:

• Если грани пирамиды наклонены к основанию пирамиды по одним углом, то вершина пирамиды проецируется в центр вписанной окружности.

Формула объема конуса:

$\displaystyle V_k=\frac{1}{3}\pi r^2h$  , где r - радиус основания конуса, h  - его высота.

1. Найдем радиус.

• Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник равен:

• $\displaystyle r=\frac{a+b-c}{2}$  , где a, b - катеты, с - гипотенуза.

Найдем АВ по теореме Пифагора:

АС² = ВС² + АВ²

АВ² = 900 - 324

АВ = √576 = 24 (см)

⇒

$\displaystyle r=\frac{18 +24-30}{2}=6 \;_{(CM)}$

2. Найдем высоту SO.

Для этого рассмотрим ΔKSO - прямоугольный.

∠SKO = 30°

• Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

⇒ KS = 2SO

Пусть SO = x см, тогда КS = 2x см.

По теореме Пифагора:

KS² = OK² + OS²

4x² = 36 + x²

3x² = 36

x² = 12

x=√12 = 2√3 (см)

3. Найдем объем конуса:

$\displaystyle V_k=\frac{1}{3}\pi r^2h=\frac{1}{3}\pi \cdot36\cdot2\sqrt{3}= 24\sqrt{3}\pi _\;{(CM^3)}$

Объём конуса, вписанного в данную пирамиду равен 24√3π см³.