Question

Докажите, что площадь треугольника АВС вычисляется по формуле S= 1/2 Pr

Answer 1

треугольник АВС, О=центр вписанной окружности , точка пересечения биссектрис, Н -точка касания окружности на АВ, К-точка на ВС, М-точка на АС, проводим ОА, ОВ, ОС, проводим радиусы, препендикулярные в точки касания - ОН, ОК, ОМ, ОН=ОК=ОМ=радиус=r, площадь треугольника АВО=1/2АВ*ОН, площадьВОС=1/2ВС*ОК, площадь АОС=1/2АС*ОМ, площадь АВС=площадьАОВ+площадьВОС+площадьАОС=1/2АВ*ОН+1/2ВС*ОК+1/2АС*ОМ, но ОН=ОК=ОМ=r, площадьАВС=1/2*r*(АВ+ВС+АС), ноАВ+ВС+АС=периметр Р, значит площадьАВС=1/2*Р*r