Question

ДАМ 100 БАЛЛОВ ЗА 1 ЗАДАЧУ. ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ ​
Дифференциальное уравнение

Answer 1

Задано диффер. уравнение 1 пор. с однородными функциями. Решаем с помощью замены.

$y'=\dfrac{2y-x}{2x+y}\ \ ,\ \ \ y(1)=1\\\\\\u=\dfrac{y}{x}\ \ ,\ \ y=ux\ ,\ \ y'=u'x+u\\\\u'x+u=\dfrac{2ux-x}{2x+ux}\ \ ,\ \ \ u'x+u=\dfrac{2u-1}{2+u}\ \ ,\ \ u'x=\dfrac{2u-1-2u-u^2}{2+u}\ ,\\\\\\u'x=-\dfrac{u^2+1}{u+2}\ \ ,\ \ \dfrac{x\, du}{dx}=-\dfrac{u^2+1}{u+2}\ \ ,\ \ \displaystyle \int \frac{(u+2)du}{u^2+1}=-\int \frac{dx}{x}\ ,$

$\displaystyle \frac{1}{2}\int \frac{2u\, du}{u^2+1}+2\int \frac{du}{u^2+1}=-\int \frac{dx}{x}\\\\\\\frac{1}{2}\, ln|u^2+1|+2arctg\, u=-ln|x|+lnC\\\\\\\frac{1}{2}\, ln\Big(\dfrac{y^2}{x^2}+1\Big)+2arctg\frac{y}{x}=ln\frac{C}{x}$- общий интеграл .

Подставляем начальные условия, найдём значение константы .  

$\dfrac{1}{2}\, ln2+2arctg1=lnC\ \ ,\ \ \dfrac{ln2}{2}+2\cdot \dfrac{\pi}{4}=lnC\ \ ,\ \ lnC=ln\sqrt2+\dfrac{\pi }{2}$

Частный интеграл    $\displaystyle \frac{1}{2}\, ln\Big(\dfrac{y^2}{x^2}+1\Big)+2arctg\frac{y}{x}=ln\sqrt2+\dfrac{\pi }{2}-lnx$