Question

Розв’яжіть у цілих числах 2xy-4x+2y-y^2=3

Answer 1

$2xy-4x+2y-y^2=3$

Розкладемо на множники ліву частину методом групування:

- перший доданок з другим, за дужки виносимо $2x$;

- третій доданок з четвертим, за дужки виносимо $y$.

$2x(y-2)+y(2-y)=3$

Для того, щоб перетворити множник $(2-y)$ в множник $(y-2)$, винесемо знак "мінус" за дужки:

$2x(y-2)-y(y-2)=3$

Виносимо спільний множник $(y-2)$ за дужки:

$(y-2)(2x-y)=3$

Так як рівняння розв'язується в цілих числах, то і будь-які множники, складені з суми/різниці/добутку декількох змінних та/або чисел, будуть цілими числами.

Маємо дві дужки, які при множенні одна на одну дають число 3.

Скільки є варіантів отримати число 3 в результаті множення двох цілих чисел? 4 варіанти:

$1) 3\cdot1\\2)1\cdot 3\\3) (-3)\cdot(-1)\\4) (-1)\cdot(-3)$

Розглянемо кожен з цих варіантів, при цьому будемо записувати розв'язання у вигляді системи, де кожну з двох дужок ми прирівнюватимемо до одного з чисел. І розв'язуватимемо одразу ці системи:

$1) \left \{ {{y-2=3} \atop {2x-y=1}} \right. \left \{ {{y=5} \atop {2x-5=1}} \right. \left \{ {{y=5} \atop {2x=6}} \right. \left \{ {{y=5} \atop {x=3}} \right.$

$2) \left \{ {{y-2=1} \atop {2x-y=3}} \right. \left \{ {{y=3} \atop {2x-3=3}} \right. \left \{ {{y=3} \atop {2x=6}} \right. \left \{ {{y=3} \atop {x=3}} \right.$

$3) \left \{ {{y-2=-3} \atop {2x-y=-1}} \right. \left \{ {{y=-1} \atop {2x+1=-1}} \right. \left \{ {{y=-1} \atop {2x=-2}} \right. \left \{ {{y=-1} \atop {x=-1}} \right.$

$4) \left \{ {{y-2=-1} \atop {2x-y=-3}} \right. \left \{ {{y=1} \atop {2x-1=-3}} \right. \left \{ {{y=1} \atop {2x=-2}} \right. \left \{ {{y=1} \atop {x=-1}} \right.$

Всі знайдені розв'язки є цілими числами, отже, вони повністю задовольняють умову задачі.

Запишемо відповідь у вигляді переліку пар розв'язків у вигляді $(x;y)$.

Відповідь: $(3;5),(3;3),(-1;-1),(-1;1)$