Question

В равнобедренном треугольнике АВС на основании АВ как на диаметре построена окружность, которая пересекает боковые стороны АС и ВС в точках Д и Е соответственно. Причем АД = 2, АЕ = 8/3. Найдите периметр треугольника АВС. (запишите решение)​

Answer 1

Ответ:

$P=\dfrac{80}{9}$

Объяснение:

• Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой.

• ∠АЕВ = ∠ADB = 90°
• ∠DAB = ∠EBA как углы при основании равнобедренного треугольника,
• АВ - общая сторона для треугольников DAB и ЕВА, значит

ΔDAB = ΔЕВА по гипотенузе и острому углу,  ⇒

ВЕ = AD = 2

ΔАЕВ: ∠АЕВ = 90°, по теореме Пифагора

 $\boldsymbol{AB}=\sqrt{AE^2+BE^2}=\sqrt{\left(\dfrac{8}{3}\right)^2+2^2}=$

     $= \sqrt{\dfrac{64}{9}+4}=\sqrt{\dfrac{64+36}{9}}=\sqrt{\dfrac{100}{9}}\boldsymbol{=\dfrac{10}{3}}$

  $\cos\angle ABE=\dfrac{BE}{AB}=2:\dfrac{10}{3}=2\cdot \dfrac{3}{10}=\dfrac{3}{5}$

АС = ВС = х

Из ΔАВС по теореме косинусов:

AC² = AB² + BC² - 2·AB·BC·cos∠ABE

$x^2=\left(\dfrac{10}{3}\right)^2+x^2-2\cdot \dfrac{10}{3}\cdot x\cdot \dfrac{3}{5}$

$x^2-x^2=\dfrac{100}{9}-2\cdot 2\cdot x$

$4x=\dfrac{100}{9}$

$x=\dfrac{25}{9}$

$AC = BC=\dfrac{25}{9}$

Периметр треугольника АВС:

$\boldsymbol{P}=AB+2\cdot AC=\dfrac{10}{3}+2\cdot \dfrac{25}{9}=\dfrac{30}{9}+\dfrac{50}{9}\boldsymbol{=\dfrac{80}{9}}$