Question

решить уравнение (12 задание егэ)
пожалуйста:(

Answer 1

Ответ:

$x=\frac{\pi k}{2}$

Пошаговое объяснение:

Перенесём из правой части в левую:

$sin^2(\frac{\pi}{4} - x) - sin^2(\frac{\pi}{4} + x) = 0$

Применим формулу разности квадратов:

$(sin(\frac{\pi}{4} - x) - sin(\frac{\pi}{4} + x))(sin(\frac{\pi}{4} - x) + sin(\frac{\pi}{4} + x) = 0) = 0$

Равенство выполняется, если

1) $sin(\frac{\pi}{4} - x) = sin(\frac{\pi}{4} + x)$

или

2) $sin(\frac{\pi}{4} - x) = -sin(\frac{\pi}{4} + x)$

Решим 1-е уравнение, применив формулу разности синусов:

$sin(\frac{\pi}{4} - x) - sin(\frac{\pi}{4} + x) = 0\\2sin(\frac{\frac{\pi}{4}-x - (\frac{\pi}{4} + x)}{2})*cos(\frac{\frac{\pi}{4}-x + \frac{\pi}{4}+x}{2}) = 0\\sin(x) * cos(\frac{\pi}{8}) = 0\\sin(x) = 0\\x = \pi k$

Решим 2-е уравнение с помощью формулы суммы синусов:

$sin(\frac{\pi}{4} - x) + sin(\frac{\pi}{4} + x) = 0\\2sin(\frac{\frac{\pi}{4} - x + \frac{\pi}{4} +x}{2})*cos(\frac{\frac{\pi}{4} - x - \frac{\pi}{4} - x}{2}) = 0\\sin(\frac{\pi}{8}) * cos(-x) = 0\\cos(x) = 0\\x = \frac{\pi}{2}+\pi k$

Решения можно объединить в 1-у серию: $x=\frac{\pi k}{2}$ (здесь и ранее k - целое число)