Question

Докажите, что при любых значениях х и у значение выражения неотрицательно
4х2 – 20ху + 25у2

Answer 1

Доказательство:

Преобразуем данное выражение, используя формулу квадрата разности:

$4x^2-20xy+25y^2=(2x)^2-2*2x*5y+(5y)^2=(2x-5y)^2$

$x,y\in R,\; (2x-5y)x^{2} \geq 0\; \; \; = > x,y\in R, \; \; \; 4x^2-20xy+25y^2\geq 0$  

Что и требовалось доказать.

Объяснение:

В результате преобразования получили квадрат разности двух выражений 2х и 5у. Квадрат любого числа, а также, квадрат любого выражения всегда больше или равен нулю. Поэтому, при любых значениях переменных х и у, значение выражения (2х-5у)²≥0, то есть неотрицательно. Т.к. выражение (2х-5у)² было получено из исходного выражения 4х²-20ху+25у² путем тождественных преобразований, то это означает, что при любых значениях переменных х и у данное выражение неотрицательно.

Что и требовалось доказать.