Question

Натуральное число при делении на 5 даёт в остатке 4. Докажите, что сумма куба этого числа и его квадрата делится на 5.

Answer 1

Пусть перед нами натуральное число n. По условию при делении на 5 оно дает в остатке 4. То есть $(n-4) = 5k$, где $k$ - некотрое целое число. Перепишем равенство в виде $n = 5k+4$. Теперь возведем n в куб и квадрат:

$n^3 = (5k+4)^3 = 125k^3+300k^2+240k+64\\n^2 = (5k+4)^2 = 25k^2+40k+16$

Посчитаем сумму куба и квадрата нашего числа n:$n^3+n^2 = 125k^3+300k^2+240k+64 + 25k^2+40k+16 = 125k^3+325k^2+280k+80$

Убедимся, что эта сумма делится на 5. Для этого просто вынесем 5 за скобку:

$n^3+n^2 = 125k^3+325k^2+280k+80 = 5*(25k^3+65k^2+56k+16)$

Правая часть равенства, очевидно, делится на 5. Тогда и левая часть тоже делится на 5 (это следует из свойств делимости), то есть $(n^3+n^2)$ делится на 5. Что и требовалось доказать.