Правила побудови проекцій вектора ?
Ответы
Ответ: Визначення 1. На площині паралельною проекцією точки А на вісь l називається точка - точка перетину осі l з прямою, проведеною через точку А паралельно вектору, що задає напрямок проектування.
Визначення 2. Паралельною проекцією вектора на вісь l (на вектор) називається координата вектора щодо базису осі l, де точки і - паралельні проекції відповідно до точок А і В на вісь l (рис. 1).
Згідно з визначенням маємо
Визначення 3. якщо та базис осі l декартів, тобто проекція вектора на вісь l називається ортогональною (рис. 2).
У просторі визначення проекції 2 вектора на вісь залишається в силі, тільки напрям проектування задається двома неколлінеарними векторами (рис. 3).
З визначення проекції вектора на вісь випливає, кожна координата вектора є проекція цього вектора на вісь, що визначається відповідним базисним вектором. При цьому напрям проектування задається двома іншими базовими векторами, якщо проектування ведеться (розглядається) у просторі, або іншим базовим вектором, якщо проектування розглядається на площині (рис. 4).
Теорема 1. Ортогональна проекція вектора вісь l дорівнює добутку модуля вектора на косинус кута між позитивним напрямом осі l і, тобто.
З іншого боку
З знаходимо
Підставивши АС у рівність (2), отримаємо
Оскільки числа xі одного знака в обох випадках ((рис. 5, а) ; (рис. 5, б) , то з рівності (4) випливає
Зауваження. Надалі ми розглядатимемо лише ортогональну проекцію вектора на вісь і тому слово «орт» (ортогональна) в позначенні опускатимемо.
Наведемо ряд формул, які використовуються в подальшому під час вирішення завдань.
а)Проекція вектора на вісь.
Якщо, то ортогональна проекція на вектор згідно з формулою (5) має вигляд
в) Відстань від точки до площини.
Нехай б - дана площина з нормальним вектором, M - дана точка,
d – відстань від точки М до площини б (рис. 6).
Якщо N-довільна точка площини б, а і - проекції точок Mі Nна вісь, то
г) Відстань між прямими, що схрещуються.
Нехай а і b-дані прямі, що схрещуються, - перпендикулярний їм вектор, А і В - довільні точки прямих а і b відповідно (рис. 7), і - проекції точок Aі Bна, тоді
д) Відстань від точки до прямої.
Нехай l- дана пряма з напрямним вектором, M - дана точка,
N – її проекція на пряму l, Тоді - відстань (рис. 8).
Якщо А - довільна точка прямої l, то в прямокутному трикутнику MNAгіпотенуза MAі катет можуть бути знайдені. Значить,
е) Кут між прямою та площиною.
Объяснение: