Question

Вычислить без помощи таблиц и калькулятора (sin197)^2+(cos133)^2+sin197cos133

Answer 1

Ответ:

Значение выражения  $sin^{2} 197^{0} +cos^{2} 133^{0} +sin197^{0} cos133^{0}$ равно 0,75

Объяснение:

Надо вычислить без помощи таблиц и калькулятора

$sin^{2} 197^{0} +cos^{2} 133^{0} +sin197^{0} cos133^{0}$

Воспользуемся следующими формулами

$sin^{2} \alpha =\dfrac{1-cos2\alpha }{2} ;\\cos^{2} \alpha =\dfrac{1+cos2\alpha }{2} ;\\\\sin\alpha \cdot cos \beta =\dfrac{sin(\alpha +\alpha )+sin(\alpha -\beta )}{2}$

Применим эти формулы и получим:

$sin^{2} 197^{0} +cos^{2} 133^{0} +sin197^{0} cos133^{0}=\\\\=\dfrac{1-cos (2\cdot197^{0}) }{2} +\dfrac{1+cos (2\cdot133^{0}) }{2} +\dfrac{sin(197^{0}+133^{0})+sin(197^{0}-133^{0}) }{2} =\\\\=\dfrac{1-cos394^{0} }{2} +\dfrac{1+cos266^{0} }{2}+\dfrac{sin330^{0} +sin64^{0} }{2} =\\\\=\dfrac{2-cos394^{0} +cos266^{0}+sin330^{0} +sin64^{0} }{2}$

Применим формулы приведения

$\dfrac{2-cos(360^{0} +34^{0})+cos(270^{0} -4^{0} )+sin(360^{0} -30^{0} )+sin64^{0} }{2} =\\\\=\dfrac{2-cos34^{0}-sin4^{0} -sin30^{0}+sin64^{0} }{2} =\\\\=\dfrac{2-cos34^{0}-0,5+sin64^{0}-sin4^{0}}{2} =\\\\=\dfrac{1,5-cos34^{0}+(sin64^{0}-sin4^{0})}{2}$

Преобразуем разность синусов в скобках по формуле

$sin\alpha -sin\beta =2sin\dfrac{\alpha -\beta }{2} \cdot cos \dfrac{\alpha +\beta }{2}$

И получим:

$\dfrac{1,5-cos34^{0}+(sin64^{0}-sin4^{0})}{2}=\\\\=\dfrac{1,5-cos34^{0} +2sin30^{0} \cdot cos34^{0} }{2} =\\\\=\dfrac{1,5-cos34^{0} +2\cdot0,5\cdot cos34^{0} }{2} =\\\\=\dfrac{1,5-cos34^{0} + cos34^{0} }{2}=\\\\ =\dfrac{1,5}{2} =0,75.$