Question

найдите частное решение дифференциального уравнения y'=6+4x-12x² при условии y(2)=5

Answer 1

Ответ:

частное решение:

$\boxed{y = 6x - 2x^{2} - 4x^{3} + 33}$

Примечание:

По таблице интегралов:

$\boxed{\displaystyle \int dx = \int 1 \cdot dx = x + C}$

$\boxed{\displaystyle \int x^{n} \ dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C; n \neq -1, x > 0}$

Пошаговое объяснение:

Начальные условия: $y(2) = 5$

$y' = 6 + 4x - 12x^{2}$ - обыкновенное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

$\dfrac{dy}{dx} = 6 + 4x - 12x^{2}| \cdot dx$ - домножим на данное выражение, чтобы разделить переменные (пропорция)

$dy = (6 + 4x - 12x^{2})\ dx$

$\displaystyle \int dy = \int (6 + 4x - 12x^{2})\ dx$ - интегрируем обе части так как они содержат одинаковые переменные и соотвествующие дифференциалы

$y + C_{1} = 6x - \dfrac{4x^{2} }{2} - \dfrac{12x^{3}}{3} + C_{2}$ - результат интегрирования

$y = 6x - 2x^{2} - 4x^{3} + C_{2} - C_{1}$

$y = 6x - 2x^{2} - 4x^{3} + C$

Согласно начальному условию:

$y(2) = 5$

$5 = 6 \cdot 2 - 2\cdot 2^{2} - 4\cdot 2^{3} + C$ - находим частное решение

$5 = 12 -8 - 32 + C$

$C = 5 - 12 + 8 + 32 = 45 - 12 = 33$

$y = 6x - 2x^{2} - 4x^{3} + 33$ - частное решение