моторная лодка движется в стоячей воде со скоростью 5м/с на полном ходу ее мотор выключился и через 40сек после этого ее скорость уменьшилась до 2м/с определить скорость лодки через 2мин после выключения мотора считая что сопротивление воды пропорционально скорости движения лодки
Ответы
Ответ v=0,32 м/c
v(t) - скорость лодки функция от времени
Обозначим момент выключения двигателя через t0.
После выключения двигателя на лодку действует только сила сопротивления воды, а значит ускорение пропорционально силе сопротивления.
Производная скорости по времени это ускорение.
v'(t)=k*v(t)
dv/dt=k*v - это уравнение с разделяющимися переменными
dv/v=kdt
интегрируя получаем зависимость скорости от времени
∫dv/v=∫kdt
ln|v|=kt+C
подставим начальные условия
ln5=C
ln|v|=kt+ln5
подставляем значения t=40 c и v=2 м/c
ln2=40k+ln5
k=ln(2/5)/40 ln(a/b)=lna-lnb
lnv=(ln(2/5)/40)*t+ln5
подставим в формулу t=2 мин=120 с
lnv=(ln(2/5)/40)*120+ln5
lnv=3ln(2/5)+ln5
lnv=ln((8/125)*5)=ln(0,32)
v=0,32