Question

Задание приложено...

Answer 1

Ответ:

Последовательности заданы рекуррентно:

30.18

1) $\boxed{a_{1} = -1; a_{n + 1} = a_{n} + 2}$

2) $\boxed{a_{1} = \dfrac{1}{3}; a_{n + 1} = \dfrac{a_{n} + 1}{3 - a_{n}}}$

3) $\boxed{a_{1} = 1; a_{n + 1} = a_{n} + 2\sqrt{a_{n}} + 1}$

30.19

1) $\boxed{a_{n} = 1;a_{n + 1} = a_{n} + 1}$

2) $\boxed{a_{1} = 0,5; a_{n + 1} =\dfrac{a_{n}}{1 + a_{n}}}$

3) $\boxed{a_{1} = 1;a_{n + 1} = \sqrt{a_{n}^{2} + 1}}$

Объяснение:

Можно задать следующий алгоритм для задания последовательности $a_{n}$ заданную в явном виде рекуррентным способом

1. Найти $a_{1}$
2. Выразить через $a_{n}$ переменную $n$
3. Записать $a_{n + 1}$ с помощью $a_{n}$, которая выражена из пункта 2.

30.18

1) $a_{n} = 2n - 3$

$a_{1} = 2 \cdot 1 - 3 = 2 - 3 = -1$

--------------------

$a_{n} = 2n - 3$

$2n = a_{n} + 3|:2$

$n = \dfrac{a_{n} + 3}{2}$

$a_{n + 1} = 2(n + 1) - 3 = 2n + 2 - 3 = 2n - 1 = 2 \cdot \dfrac{a_{n} + 3}{2} - 1 = a_{n} + 3 - 1 = a_{n} + 2$

Последовательность задана рекуррентно:

$a_{1} = -1; a_{n + 1} = a_{n} + 2$

2) $a_{n} = \dfrac{n}{n + 2}$

$a_{1} = \dfrac{1}{1 + 2} = \dfrac{1}{3}$

---------------------------

$a_{n} = \dfrac{n}{n + 2} \bigg | \cdot ( n+ 2)$

$a_{n}(n + 2) = n$

$na_{n} + 2a_{n} = n$

$na_{n} - n = -2a_{n}$

$n(a_{n} - 1) = -2a_{n}|:(a_{n} - 1)$

$n = \dfrac{-2a_{n}}{a_{n} - 1} = \dfrac{2a_{n}}{1 - a_{n}}$

$a_{n + 1} = \dfrac{n + 1}{n + 1 + 2} = \dfrac{n + 1}{n + 3} = \dfrac{\dfrac{2a_{n}}{1 - a_{n}} + 1}{\dfrac{2a_{n}}{1 - a_{n}} + 3} = \dfrac{\dfrac{2a_{n} + 1 - a_{n}}{1 - a_{n}}}{\dfrac{2a_{n} + 3(1 - a_{n})}{1 - a_{n} } } = \dfrac{\dfrac{2a_{n} + 1 - a_{n}}{1 - a_{n}}}{\dfrac{2a_{n} + 3 - 3a_{n}}{1 - a_{n} } } =$

$= \dfrac{\dfrac{a_{n} + 1}{1 - a_{n}}}{\dfrac{3 - a_{n}}{1 - a_{n} } } = \dfrac{(a_{n} + 1)(1 - a_{n})}{(3 - a_{n})(1 - a_{n})} = \dfrac{a_{n} + 1}{3 - a_{n}}$

Последовательность задана рекуррентно:

$a_{1} = \dfrac{1}{3}; a_{n + 1} = \dfrac{a_{n} + 1}{3 - a_{n}}$

3) $a_{n} = n^{2}$

$a_{1} = 1^{2} = 1$

------------------

$a_{n} = n^{2}$

$\sqrt{a_{n}} =\sqrt{ n^{2}}$ (по определению числовой последовательности $n \in \mathbb N$)

$n = \sqrt{a_{n}}$

$a_{n + 1} = (n + 1)^{2} = n^{2} + 2n + 1 = a_{n} + 2\sqrt{a_{n}} + 1$

Последовательность задана рекуррентно:

$a_{1} = 1; a_{n + 1} = a_{n} + 2\sqrt{a_{n}} + 1$

30.19

1) $a_{n} = n$

$a_{1} = 1$

------------------

$a_{n + 1} = a_{n} + 1$

Последовательность задана рекуррентно:

$a_{n} = 1;a_{n + 1} = a_{n} + 1$

2) $a_{n} = \dfrac{1}{n + 1}$

$a_{1} = \dfrac{1}{1 + 1} = \dfrac{1}{2} = 0,5$

-----------------------------------

$a_{n} = \dfrac{1}{n + 1} \bigg| \cdot (n + 1)$

$a_{n}(n + 1) = 1$

$na_{n} + a_{n} = 1$

$na_{n} = 1 - a_{n}|:a_{n}$

$n = \dfrac{1 - a_{n}}{a_{n}}$

$a_{n + 1} = \dfrac{1}{n + 1 + 1} = \dfrac{1}{n + 2} = \dfrac{1}{\dfrac{1 - a_{n}}{a_{n}} + 2} = \dfrac{1}{\dfrac{1 - a_{n} + 2a_{n}}{a_{n}} } = \dfrac{a_{n}}{1 + a_{n}}$

Последовательность задана рекуррентно:

$a_{1} = 0,5; a_{n + 1} =\dfrac{a_{n}}{1 + a_{n}}$

3) $a_{n} = \sqrt{n}$

$a_{1} = \sqrt{1} = 1$

-------------------------

$a_{n} = \sqrt{n}$

$(a_{n})^{2} = (\sqrt{n})^{2}$

$n = a_{n}^{2}$

$a_{n + 1} = \sqrt{n + 1} = \sqrt{a_{n}^{2} + 1}$

Последовательность задана рекуррентно:

$a_{1} = 1;a_{n + 1} = \sqrt{a_{n}^{2} + 1}$