Предмет: Алгебра, автор: Reideen

Задание приложено...

Приложения:

Ответы

Автор ответа: mathkot

Ответ:

Примечание:

22.16

$y = 2^{k}$ - так как это показательная функция, то по свойствам показаетльной функции $y > 0$ при $k \in \mathbb N$ .

Так как по условию $a,b \geq 0$ , то $(a + b) \geq 0$ , таким образом неравенство можно домнажать на число $(a + b)$ .

Метод математической индукции:

Для того, чтобы доказать, что некоторое утверждение верно при натуральном $n$ необходимо выполнить следующие условия:

База индукции:

1) Доказать, что утверждение верно при $n = 1$

Индуктивный переход:

2) Сделать гипотезу, что утверждение верно для $n = k$ и на основании данной гипотезы доказать, что утверждение верно для $n = k + 1$

Если выполнены утверждения 1) и 2), то исходное утверждение доказано для всех натуральных $n$ методом математической индукции.

22.16

Воспользуемся методом математической индукции:

$\displaystyle \bigg (\frac{a + b}{2} \bigg)^{n} \leq \frac{a^{n} +b^{n}}{2} ; a,b \geq 0;n \in \mathbb N$

База индукции:

$n = 1;$

$\displaystyle \bigg (\frac{a + b}{2} \bigg)^{1} \leq \frac{a^{1} +b^{1}}{2}$

$\displaystyle \frac{a + b}{2} = \frac{a + b}{2}$ - верно

Индуктивный переход:

$n = k;$

$\boxed{\displaystyle \bigg (\frac{a + b}{2} \bigg)^{k} \leq \frac{a^{k} +b^{k}}{2}}$ - пусть верно

$\displaystyle \frac{(a + b)^{k}}{2^{k}} \leq \frac{a^{k} +b^{k}}{2} \bigg| \cdot(2 \cdot 2^{k} )$

$2(a + b)^{k} \leq 2^{k}(a^{k} + b^{k})| \cdot(a + b)$

$2(a + b)(a + b)^{k} \leq 2^{k}(a + b)(a^{k} + b^{k})$

Необходимо доказать:

$n = k + 1;$

$\displaystyle \bigg (\frac{a + b}{2} \bigg)^{k + 1} \leq \frac{a^{k + 1} +b^{k + 1}}{2}$

$\displaystyle \frac{(a + b)^{k + 1}}{2^{k + 1}} \leq \frac{a^{k + 1} +b^{k + 1}}{2}$

$\displaystyle \frac{(a + b)(a + b)^{k}}{2 \cdot 2^{k}} \leq \frac{a\cdot a^{k} + b \cdot b^{k}}{2} \bigg | \cdot (2 \cdot 2^{k})$

$(a + b)(a + b)^{k} \leq 2^{k}(a\cdot a^{k} + b \cdot b^{k}) | \cdot 2$

$2(a + b)(a + b)^{k} \leq 2 \cdot 2^{k}(a\cdot a^{k} + b \cdot b^{k})$

(мы предполагаем, что для $n = k$ неравенство является верным, тогда так как $2(a + b)(a + b)^{k} \leq 2^{k}(a + b)(a^{k} + b^{k})$ , то заменим выражение $2(a + b)(a + b)^{k}$ на большее выражение $2^{k}(a + b)(a^{k} + b^{k})$ и доказав более сильное неравенство $2^{k}(a + b)(a^{k} + b^{k}) \leq 2 \cdot 2^{k}(a\cdot a^{k} + b \cdot b^{k})$ докажем, что и первоначальное $2(a + b)(a + b)^{k} \leq 2 \cdot 2^{k}(a\cdot a^{k} + b \cdot b^{k})$ является верным и на основание математической индукции докажем исходное утверждение)

$2^{k}(a + b)(a^{k} + b^{k}) \leq 2 \cdot 2^{k}(a\cdot a^{k} + b \cdot b^{k})|:2^{k}$

$(a + b)(a^{k} + b^{k}) \leq 2(a\cdot a^{k} + b \cdot b^{k})$

$a \cdot a^{k} + a \cdot b^{k} + b \cdot a^{k} + b \cdot b^{k} \leq 2a\cdot a^{k} + 2b \cdot b^{k}$

$a\cdot a^{k} + b \cdot b^{k} - a \cdot b^{k} - b \cdot a^{k} \geq 0$

$a\cdot a^{k} - b \cdot a^{k} + b \cdot b^{k} - a \cdot b^{k} - \geq 0$

$a^{k}(a - b) + b^{k}(b - a) \geq 0$

$a^{k}(a - b) - b^{k}(a - b) \geq 0$

$(a - b)(a^{k} - b^{k}) \geq 0$

Если $a \geq b$ , то $a - b \geq 0$ и $a^{k} - b^{k} \geq 0$ , а произведение двух положительных чисел есть положительное число.

Если $a < b$ , то $a - b < 0$ и $a^{k} - b^{k} < 0$ , а произведение двух отрицательных чисел есть положительное число.

Утверждение для $n = k + 1$ верно, тогда методом математической индукции доказано, что $\boxed{\displaystyle \bigg (\frac{a + b}{2} \bigg)^{n} \leq \frac{a^{n} +b^{n}}{2} }$ при $a,b \geq 0;n \in \mathbb N$ .