Question

Решаю сириус. Помогите, пожалуйста! Даю 100 баллов!
Заполните пропуски так, чтобы получилось верное решение.

Задача. У Васи есть 81 карточка: на девяти написана цифра 1, на других девяти — цифра 2, …, на последних девяти — цифра 9. Он выложил из всех карточек квадрат 9×9, а затем убрал из него девять карточек, лежащих на большой диагонали. Затем он заметил, что сумма всех чисел на карточках выше этой диагонали ровно в 3 раза больше суммы всех чисел на карточках ниже этой диагонали. Чему равна сумма чисел на девяти карточках, убранных Васей?

Решение. Пусть A — сумма всех чисел над диагональю, B — сумма всех чисел под диагональю. Оценим величины A и B.

Сумма A состоит из ___
слагаемых и не больше, чем сумма (наименьших/наибольших)
Выбрать
возможных слагаемых. Таким образом, A не больше, чем ___
. Аналогично сумма B состоит из ___
слагаемых и не меньше, чем сумма (наименьших/наибольших)
Выбрать
возможных слагаемых. То есть B не меньше, чем ___
.

Заметим, что наибольшее возможное значение A равно утроенному наименьшему возможному значению B. Это означает, что над главной диагональю обязаны стоять все (наименьшие/наибольшие)
Выбрать
числа таблицы, а под ней — все (наименьшие/наибольшие)
Выбрать
числа. Значит, числа на главной диагонали определяются однозначно, и их сумма равна ___
.

Answer 1

Решение. Пусть A — сумма всех чисел над диагональю, B — сумма всех чисел под диагональю. Оценим величины A и B.

Сумма A состоит из

36

слагаемых и не больше, чем сумма

наибольших

возможных слагаемых. Таким образом, A не больше, чем

270

. Аналогично сумма B состоит из

36

слагаемых и не меньше, чем сумма

наименьших

возможных слагаемых. То есть B не меньше, чем

90

.

Заметим, что наибольшее возможное значение A равно утроенному наименьшему возможному значению B. Это означает, что над главной диагональю обязаны стоять все

наибольшие

числа таблицы, а под ней — все

наименьшие

числа. Значит, числа на главной диагонали определяются однозначно, и их сумма равна

45