Question

Дано точки A(2;-1), B(3:2). C(-3:1). Знайдіть:

а) координати векторів АВ і АС:

б) модулі векторів АВ і AC;
в) координати вектора NK = 3АВ - 2AC;

г) скалярний добуток векторів AB i AC;

д) косинус кута САВ.​

Answer 1

Ответ:

а) $\vec{AB}={(1;3)}; \vec{AC}= {(-5;2)}$

б)  $|\vec{AB}|=\sqrt{10} ;$   $|\vec{AC}| =\sqrt{29} .$

в) $\vec{NK} (13;5)$

г) $\vec{AB}\cdot\vec{AC}=1$

д) $cosCAB=\dfrac{1}{\sqrt{290} } .$

Объяснение:

Даны точки А( 2;-1), В(3;2) , С (-3;1) .

Найти:

а)  координаты векторов $\vec{AB}$  и  $\vec{AC}$

Чтобы найти координаты вектора, надо от координат конца вычесть координаты начала вектора.

$\vec{AB}= \overline{(3-2; 2-(-1))}=\overline{(1;3)}$

$\vec{AC}= \overline{(-3-2; 1-(-1))}=\overline{(-5;2)}$

б) модули векторов $\vec{AB}$ и  $\vec{AC}$

Модуль вектора  равен корню квадратному из суммы квадратов координат вектора.

$|\vec{AB}|=\sqrt{1^{2} +3^{2} } =\sqrt{1+9} =\sqrt{10} ;$

$|\vec{AC}|=\sqrt{(-5)^{2} +2^{2} } =\sqrt{25+4} =\sqrt{29} .$

в) Найдем коорднинаты вектора

$\vec{NK} =3\vec{AB} -2\vec{AC}$

$3\vec{AB} (3;9)$

$-2\vec{AC} (10;-4)$

$\vec{NK} (13;5)$

г) скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$

Скалярное произведение векторов равно сумме произведений одноименных координат.

$\vec{AB}\cdot\vec{AC}= 1\cdot(-5)+3\cdot2=-5+6=1$

д) косинус  ∠ САВ

∠ САВ  - это угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$.

Найдем скалярное произведение векторов по формуле :

$\vec{AB}\cdot\vec{AC}=|\vec{AB}|\cdot|\vec{AC}|\cdot \cos CAB;\\\\\cos CAB=\dfrac{\vec{AB}\cdot\vec{AC}}{|\vec{AB}|\cdot|\vec{AC}|} ;\\\\cosCAB=\dfrac{1}{\sqrt{10} \cdot\sqrt{29} } =\dfrac{1}{\sqrt{290} } .$