Question

ПОМОГИТЕ, ПОЖАЛУЙСТА!

Из точки O выходят лучи OA, OB, OC и OD так, как показано на рисунке. Известно, что сумма углов AOB и COD равна 180°. Докажите, что биссектрисы углов AOC и BOD перпендикулярны.

Answer 1

Ответ:

Доказано, что биссектрисы углов AOC и BOD перпендикулярны.

Объяснение:

Требуется доказать, что биссектрисы углов AOC и BOD перпендикулярны.

Дано: лучи OA, OB, OC и OD.

AOB + COD = 180°

Доказать:

OM ⊥ OK

Доказательство:

Обозначим:

∠АОВ = α; ∠DОС = β; ∠АОD = γ; ∠BOC = φ

По условию α + β = 180°

⇒ γ + φ = 180°

1. ∠BOD = α + γ

OK - биссектриса

$\displaystyle \Rightarrow \angle{BOK}=\angle{KOD}=\frac{\alpha +\gamma}{2}$

2.  ∠AOC = α + φ

OM - биссектриса

$\displaystyle \Rightarrow \angle{AOM}=\angle{MOC}=\frac{\alpha +\phi}{2}$

3. Рассмотрим рисунок.

Искомый ∠КОМ равен:

∠КОМ = ∠1 + α + ∠2

γ + α + φ = (γ + φ) + α = 180° + α     (1)

При этом:

$\displaystyle \gamma=\angle{KOD}+\angle2=\frac{\alpha +\gamma}{2}+ \angle2\\\\\phi=\angle{MOC}+\angle1=\frac{\alpha +\phi}{2}+ \angle1$

Подставим в равенство (1) полученные значения:

$\displaystyle \frac{\alpha +\gamma}{2}+ \angle2+\alpha +\frac{\alpha +\phi}{2}+ \angle1=180^0+\alpha \\\\ \angle2+\alpha+\angle1=180^0+\alpha - \frac{\alpha +\gamma}{2}-\frac{\alpha +\phi}{2}$

Cлева искомый угол. Упростим выражение справа:

$\displaystyle \angle{KOM}=180^0+\alpha -\frac{\alpha +\gamma+\alpha +\phi}{2} \\\\ \angle{KOM}=180^0+\alpha -\frac{2\alpha +(\gamma+\phi)}{2} \\\\ \angle{KOM}=180^0+\alpha -\frac{2\alpha +180^0}{2} \\\\ \angle{KOM}=180^0+\alpha -\alpha -90^0\\\\ \angle{KOM}=90^0$

ОМ ⊥ ОК

⇒ биссектрисы углов AOC и BOD перпендикулярны.