Question

В параллелограмме ABCD точка M – середина стороны BC, а точка N
лежит на стороне CD, причём DN:DC=2:5. Найдите отношение площади
треугольника DMN к площади параллелограмма.

Если можете, распишите по подробнее, пожалуйста

Answer 1

Ответ:

Отношение площади треугольника DMN к площади параллелограмма равно 1 : 10.

Пошаговое объяснение:

Требуется найти отношение площади треугольника DMN к площади параллелограмма.

Дано: ABCD - параллелограмм;

ВМ = МС;

N ∈ CD

DN : DC = 2 : 5

Найти: S (DMN) : S (ABCD)

Решение:

Проведем МЕ ⊥ CD и ВК ⊥ CD.

1. Рассмотрим ΔМСЕ и ΔВСК.

∠С - общий;

• Если две прямые перпендикулярны третьей, то они параллельны между собой.

⇒ МЕ || BK

∠1 = ∠2 (соответственные при МЕ || BK и секущей ВС)

⇒ ΔМСЕ ~ ΔВСК

Составим отношение сходственных сторон:

$\displaystyle \frac{CM}{BC}=\frac{ME}{BK} =\frac{1}{2}$

Пусть МЕ = h, тогда ВК = 2h.

2. DN : DC = 2 : 5

Пусть DN = 2а, тогда  DC = 5а.

• Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

⇒  $S (ABCD) = DC\cdot{BK}=5a\cdot{2h}=10ah$

• Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

⇒  $\displaystyle S(DMN)=\frac{1}{2}\cdot{DN}\cdot{ME}=\frac{1}{2}\cdot 2a\cdot h=ah$

3. Найдем отношение площадей:

S (DMN) : S (ABCD) = ah : 10ah = 1 : 10

Отношение площади треугольника DMN к площади параллелограмма равно 1 : 10.