Question

вычислить двойной интеграл, используя полярные координаты

Answer 1

Ответ:

$\frac{\pi}{2} \cdot \ln(2+\sqrt{3})$

Пошаговое объяснение:

$I=\int\limits^{0}_{-\sqrt{3} } {dx \int\limits^{\sqrt{3-x^2}}_0 \frac{dy}{\sqrt{1+x^2+y^2} } }$

Перейдем к полярной системе координат:

x=r cosφ,   y=r sinφ

На рисунке изображена область (зеленая), по которой происходит интегрирование. При переходе к полярным координатам область интегрирования переходит в область r∈[0;√3],  φ∈[π/2;π]. А интеграл преобразуется в следующий:

$I=\int\limits^{\sqrt{3} }_{0} {dr \int\limits^{\pi}_{\pi/2} \frac{d\phi}{\sqrt{1+r^2} } } = \frac{\pi}{2} \int\limits^{\sqrt{3} }_{0} \frac{dr}{\sqrt{1+r^2} }=\frac{\pi}{2} \cdot \ln |r+\sqrt{1+r^2}| |_0^{\sqrt{3} }=\frac{\pi}{2} \cdot \ln|\sqrt{3}+2|=\\= \frac{\pi}{2} \cdot \ln(2+\sqrt{3})$

При вычислениях воспользовался следующим:

1) под первым интегралом стоит функция, независящая от φ, значит один интеграл по φ = длине отрезка интегрирования = π/2

2) Воспользовался стандартым интегралом, который находится с помощью замены r=tg t:  $\int\frac{dr}{\sqrt{r^2+1} }=ln|r+\sqrt{r^2+1}| +C$