помогите пожалуйста
Ответы
Ответ:
а) 0
б) 0
в) √2
Объяснение:
ДАНО: единичный куб АВСДА₁В₁С₁Д₁
НАЙТИ: скалярное произведение векторов:
а) АС и В₁Д₁; б) АВ и В₁С₁; в) АВ₁ и ВС₁
====================================
РЕШЕНИЕ:
гранями куба являются равные квадраты.
Если куб единичный, то каждое его ребро =1.
а) Векторы АС и В₁Д₁ (на рисунке красным цветом) – диагонали противоположных граней АВСД и А₁В₁С₁Д₁ куба, которые являются скрещивающимися, так как лежат в разных плоскостях. Диагонали В₁Д₁ соответствует диагональ ВД, которая образует с диагональю АС угол 90°. Скалярное произведение векторов под углом 90° равно 0.
Диагональ грани делит квадрат на 2 равных равнобедренных прямоугольных треугольников. Найдём диагонали по теореме Пифагора:
АС²=ВД²=1²+1²=1+1=2; АС=ВД=√2
Можно вычислить по формуле:
вектор АС•вектор В₁Д₁•cos 90°=√2•√2•0=0
ОТВЕТ; скалярное произведение векторов АС и В₁Д₁=0
б) векторы АВ и В₁С₁ (на рисунке салатовые), лежат в разных плоскостях и аналогично являются скрещивающимися под углом 90° и также их скалярное произведение равно 0:
вектор АВ•вектор В₁С₁•cos 90°=1•1•0=0
ОТВЕТ: скалярное произведение векторов АВ и В₁С₁=0
в) векторы АВ₁ и ВС₁ (на рисунке розовые), являются диагоналями граней АА₁В₁В и ВВ₁С₁С, они лежат в разных плоскостях и являются скрещивающимися. Вектору АВ₁ соответствует вектор ДС₁. Если отложить вектор ДС₁=вектору АВ₁ и равный им вектор ВД (отдельный рисунок с тремя розовыми векторами). Эти векторы являются диагоналями граней куба, и мы получим равносторонний треугольник ДС₁В. У равностороннего треугольника все углы равны каждый по 60° (180÷3=60), так как сумма всех внутренних углов треугольника равна 180°. Тогда угол между двумя векторами равен углу между сторонами треугольника= 60°.
В пункте а) мы нашли, что диагональ грани равна √2, а так как все грани куба равны, значит диагонали так же будут равны, поэтому скалярное произведение векторов ДС₁ и ВС₁:
ДС₁•ВС₁•cos 60°=√2•√2•1/2=2•1/2=2/2=1
Так как вектор ДС₁=вектору АВ₁, то скалярное произведение, векторов АВ₁ и ВС₁ равно 1
ОТВЕТ: скалярное произведение, векторов АВ₁ и ВС₁ равно 1
