Question

Задание приложено...

Answer 1

Ответ:

30.9

Число 999 НЕ является элементом последовательности

30.10

Число 1024 является элементом последовательности

Объяснение:

30.9

$a_{1} = 1;a_{n + 1} = a_{n} + 3$

Вычисли несколько первых элементов последовательности:

$n = 1; a_{1 + 1} = a_{2} = a_{1} + 3 = 1 + 3 = 4$

$n = 2; a_{1 + 2} = a_{3} = a_{2} + 3 = 4 + 3 = 7$

$n = 3; a_{1 + 3} = a_{4} = a_{3} + 3 = 7 + 3 = 10$

То есть можем сделать гипотезу о том, что рекурентна заданная функция $a_{n}$ может быть задана последовательностью $b_{n} = 1 + 3n$

Однако при $n = 1$ последовательность $b_{1} \neq 1$, таким образом модифицируем нашу гипотезу следющим образом, что последовательность $a_{n}$ имеет подпосоедовательность $b_{n}$, то есть $a_{1}$, а последующие элементы $a_{n}$ являются элементами последовательности $b_{n}$ соотвественно.

Так как из условия  $a_{n + 1} - a_{n} = 3$, если это верно для последовательности $b_{n}$, то это подпоследовательность.

База индукции:

$n = 1;$

$b_{1} = 1 + 3 \cdot 1 = 1 + 3 = 4$

$з = b_{1} - a_{1} = 4 - 1 = 3$ - верно

Индуктивный переход:

$n = k;$

$b_{k} = 1 + 3k$

--------------------------------------------------------------

$n = k + 1;$

$b_{k + 1} = 1 + 3(k + 1) = 1 + 3k + 3 = 4 + 3k$

Необходимо доказать:

$з = 3$

$b_{k + 1} - b_{k} = 3$

$4 + 3k - (1 + 3k) = 3$

$4 + 3k - 1 - 3k = 3$

$3 = 3$

То есть гипотеза, что $b_{n}$ - подпоследовательность $a_{n}$ для $n > 1$.

Проверим принадлежит ли число 999 последовательности $b_{n}$.

$b_{n} = 999$

$999 = 3n + 1$

$998 = 3n|:3$

$n = \dfrac{998}{3} \notin \mathbb N$

Следовательно число 999 не принадлежит последовательности $a_{n}$, так как не приндлжеит последовательности $b_{n}$.

30.10

$b_{1} = 2; b_{n+1} = 2b_{n}$

Рассмотрим несколько первых элементов последовательности:

$n = 1; b_{1 + 1} = b_{2} = 2b_{1} = 2\cdot 2 = 4$

$n = 2; b_{1 + 2} = b_{3} = 2b_{2} = 2\cdot 4 = 8$

$n = 3; b_{1 + 3} = b_{4} = 2b_{3} = 2\cdot 8 = 16$

Так как первый элемент последовательности 2 и мы умножаем 2, потом произвдение 2 * 2 умножаем на 2 и так далее, то любое число последовательности $b_{n}$ это $2^{k}$, где $k \in \mathbb N$.

Тогда если число 1024 является элементом последовательности, то существует такое число $n \in \mathbb N$, что $2^{n} = 1024$

$2^{n} = 1024$

$2^{n} = 2^{10} \Longleftrightarrow n = 10$

Так как $n = 10 \in \mathbb N$, то число 1024 является элментом последовательности $b_{n}$.