Question

К окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC, про­ве­де­ны три ка­са­тель­ные. Пе­ри­мет­ры от­се­чен­ных тре­уголь­ни­ков равны 6, 8, 10. Най­ди­те пе­ри­метр дан­но­го тре­уголь­ни­ка.

​

Answer 1

Ответ:

Допустим $P_{AOH}=6$ см, $P_{CKM}=8$ см, $P_{BFN}=10$ см.

Касательные к окружности из одной точки равны. Обозначим точки касания окружности буквами D, G, H, P, E, F. (Извиняюсь, я забыл обозначить буквой между отрезком OH, обозначим его как F)

Все равные отрезки: HF=HD, KD=KG, MG=MH, NH=NP, FP=FE (я их отметил разными цветами).

$P_{AOH}=AO+AH+OH$

$P_{CKM}=CK+CM+KM$

$P_{BNF}=BN+BF+NF$

Так как OH=HD+OE, $P_{AOH}=AO+AH+HD+OE$

KM=KD+MH, $P_{CKM}=CK+CM+KD+MH$

NF=NH+FE, $P_{BNF}=BN+BF+NH+FE$

Поэтому периметр ΔABC равняется сумме периметров отсеченных треугольников.

$P_{ABC}=P_{AOH}+P_{CKM}+P_{BNF}$

$P_{ABC}=AO+AH+HD+OE+CK+CM+KD+MH+BN+BF+NH+FE$

$P_{ABC}=6+8+10=24$ см