Question

найдите производную функции:
1) f(x) = ctgx + tg (x- π/4)
2) f(x) = cos²x
помогите скорее пожалуйста!​

Answer 1

Ответ:

$1) ~~ -\dfrac{1}{\sin ^2x }+\dfrac{2}{1+\sin 2x} \\\\\\ 2) ~~ -\sin 2x$

Объяснение:

1) f(x) = ctgx + tg (x- π/4)

Воспользуемся формулой

   
$(u \pm v)'= u ' \pm v'$                      

Тогда
                                                                       
$f'(x) = \mathrm{ctg}' x +\mathrm{tg'}(x- \frac{\pi }{4} ) = -\dfrac{1}{\sin^2x} +\dfrac{1}{\cos^2(x-\frac{\pi }{4} )} =-\dfrac{1}{\sin ^2x }+\dfrac{2}{1+\sin 2x}$

$\cos^2( x-\frac{\pi }{4} ) =\left (\cos x \cdot \cos \frac{\pi }{4} +\sin x \cdot \sin \frac{\pi }{4} \right )^2 = \left ( \dfrac{\sqrt{2} }{2} (\cos x+\sin x)\right )^2 =\dfrac{1+\sin 2x }{2}$

2) f(x) = cos²x

Воспользуемся формулой

$(f(g(x)))' = f'(g(x)) g'(x)$

Тогда

$f(x) =\cos^2 x = (\cos x)^2 \\\\ f'(x )= 2\cos x(\cos x)' =2 \cos x \cdot (-\sin x )=-\sin 2x$