Крупнейший спутник Урана Титания обращается вокруг него на расстоянии примерно 436000 км с периодом 8,7 суток. Пренебрегая массой Титании по сравнению с массой Урана, оцените, во сколько раз масса Урана больше массы Земли.
Масса Титании примерно в 1700 раз меньше массы Земли, а диаметр равен примерно 1600 км. Оцените ускорение свободного падения, первую и вторую космические скорости для поверхности Титании.
Ответы
Ответ: 1) Уран массивнее Земли в 14,368 раза.
2) Ускорение свободного падения на Титании ≈ 0,366 м/с²
Первая космическая скорость для Титании ≈ 541,1 м/с
Вторая космическая скорость для Титании ≈ 765,25 м/с
Объяснение: 1) Дано:
Период обращения Луны Т1 = 27,3 суток
Радиус орбиты Луны а1 = 384 400 = 3,844*10^5 км
Период обращения Титании T2 =8,7 суток
Радиус орбиты Титании а2 = 436000 км = 4,36*10^5 км
Масса Земли - Мз = М1
Масса Урана - Му = М2
Найти во сколько раз масса Урана больше массы Земли М2/М1 =
= Му/Мз - ?
Обобщенный третий закон Кеплера справедлив для двух независимых систем, состоящих из центральных массивных тел и спутников, обращающихся вокруг них, и имеет вид:
Т1² (М1 +m1)/Т2² (М2+ m2) = а1³/а2³, здесь Т1 и Т2 – периоды обращения спутников вокруг центрального массивного тела; М1 и М2 - массы центральных массивных небесных тел; m1 и m2 – массы спутников, обращающихся вокруг центральных тел; а1 и а2 – большие полуоси орбит спутников.
Так как обычно массы спутников малы в сравнении с массами центральных тел, вокруг которых спутники обращаются, то при расчете отношения масс центральных тел, массами спутников можно пренебречь. В этом случае из обобщенного третьего закона Кеплера следует, что М2/М1 = Му/Мз = Т1²* а2³/Т2²*а1³ = 27,3² * (4,36*10^5)³/ 8,7 ² * (3,844*10^5) ³ ≈ 14,368.
Уран массивнее Земли в 14,368 раза.
2) Дано:
Масса Титании Мт = 1
Радиус Титании Rт = 800 км = 8*10^5 м
Масса Земли Мз = 1700 Мт
Радиус Земли Rз = 6,371*10^6 м
Ускорение свободного падения на поверхности Земли g = 9,81 м/с²
Найти ускорение свободного падения на Титании gт - ?
Найти первую и вторую космические скорости для Титании U1 - ? U2 - ?
В общем случае ускорение свободного падения на поверхности планеты определяется выражением: g = GM/R², здесь G – гравитационная постоянная; M – масса планеты; R – радиус планеты.
Ускорение свободного падения на Титании: gт = G*Мт/Rт².
Ускорение свободного падения на Земле: gз = G*Мз/Rз².
Разделим gз на gт, имеем: gз/gт = (G*Мз/Rз²)/(G*Мт/Rт²) =
= (Мз/Rз²)/(Мт/Rт²).
С учетом принятых обозначений и принятых величин, последнее выражение примет вид: gз/gт = (Мз/Rз²)/(Мт/Rт²) =
= (1700 Мт/Мт)/( 6,371*10^6/8*10^5)² = 1700/63,421 ≈ 26,8.
Т.е земное gз больше gт в ≈ 26,8 раза.
Тогда gт = gз/26,8 = 9,81/26,8 ≈ 0,366 м/с²
Первую космическая скорость у планеты в общем случае можно найти по формуле: U1 = √(g*R),
здесь g – ускорение свободного падения у поверхности планеты;
R – радиус планеты.
В нашем случае U1 = √(0,366*8*10^5) ≈ 541,1 м/с.
Вторая космическая скорость в √2 раза больше первой космической скорости. Значит, U2 = U1*√2 = 541,1*1,41421 ≈ 765,25 м/с