Question

сума першого й четвертого членів арифметичної прогресії дорівнює 2, а сума їхніх квадратів 20, знайти суму перших восьми членів цієї прогресії

Answer 1

$\left \{ {{a_{1}+a_{4}=2} \atop {a^2_{1}+a^2_{4}=20}} \right.$

По формуле

$a_{n}=a_{1}+d(n-1)$

$a_{4}=a_{1}+3d$

$\left \{ {{a_{1}+(a_{1}+3d)=2} \atop {a^2_{1}+(a_{1}+3d)^2=20}} \right.$

$\left \{ {{a_{1}=\frac{2-3d}{2}} \atop {(\frac{2-3d}{2})^2+(\frac{2-3d}{2}+3d)^2=20}} \right.$

$\left \{ {{a_{1}=\frac{2-3d}{2}} \atop {(\frac{2-3d}{2})^2+(\frac{2+3d}{2})^2=20}} \right.$

$\left \{ {{a_{1}=\frac{2-3d}{2}} \atop {\frac{4-12d+9d^2}{4}+\frac{4+12d+9d^2}{4}=20}} \right.$

$\left \{ {{a_{1}=\frac{2-3d}{2}} \atop {8+18d^2=80} \right.$

$\left \{ {{a_{1}=\frac{2-3d}{2}} \atop {d^2=4} \right.$

$\left \{ {{a_{1}=\frac{2-3\cdot (-2)}{2}} \atop {d=-2} \right.$           или      $\left \{ {{a_{1}=\frac{2-3\cdot 2}{2}} \atop {d=2} \right.$

$\left \{ {{a_{1}=4} \atop {d=-2} \right.$           или      $\left \{ {{a_{1}=-2} \atop {d=2} \right.$

$S_{8}=\frac{2\cdot 4+(-2)\cdot 7}{2}\cdot 8$   или $S_{8}=\frac{2\cdot (-2)+2\cdot 7}{2}\cdot 8$

$S_{8}=-24$   или $S_{8}=40$

О т в е т. -24  или 40