Question

найти производную второго порядка ​

Answer 1

Ответ:

Производная сложной функции равна производной внешней функции, умноженной на производную внутренней функции. Если обозначить внутреннюю функцию u=u(x), то    $(\sqrt{u})'=\dfrac{1}{2\sqrt{u}}\cdot u'$   .

$1)\ \ y=\sqrt{2x}\ \ ,\ \ y'=\dfrac{1}{2\sqrt{2x}}\cdot 2=\dfrac{1}{\sqrt{2x}}\ \ ,\\\\y''=\Big((2x)^{-\frac{1}{2}}\Big)'=-\dfrac{1}{2}\cdot (2x)^{-\frac{3}{2}}\cdot 2=-\dfrac{1}{\sqrt{8x^3}}\\\\\\2)\ \ y=\sqrt{-x}\ \ ,\ \ \ y'=\dfrac{-1}{2\sqrt{-x}}=-\dfrac{1}{\sqrt{-x}}\\\\y''=-\Big((-x)^{-\frac{1}{2}}\Big)'=\dfrac{1}{2}\cdot (-x)^{-\frac{3}{2}}\cdot (-1)=-\dfrac{1}{2\sqrt{-x^3}}$  

$3)\ \ y=x\sqrt{x}=x^{\frac{3}{2}}\ \ ,\ \ \ y'=\dfrac{3}{2}\cdot x^{\frac{1}{2}}=\dfrac{3}{2}\, \sqrt{x} \\\\y''=\dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{1}{2\sqrt{x}}=\dfrac{3}{4\sqrt{x}}\\\\\\4)\ \ y=x-\sqrt{x}\ \ ,\ \ \ y'=1-\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\\\\y''=0-\dfrac{1}{2}\cdot (x^{-\frac{1}{2}})'=\dfrac{1}{4}\cdot x^{-\frac{3}{2}}=\dfrac{1}{4\sqrt{x^3}}\\\\\\5)\ \ y=x^2-2\sqrt{x}\ \ ,\ \ \ y'=2x-\dfrac{1}{\sqrt{x}}\\\\y''=2-\dfrac{-1}{2}\, x^{-\frac{3}{2}}=2+\dfrac{1}{2\sqrt{x^3}}$