Question

Трикутник має вершину у точках А(2: -1: 3), В(1: 1: 1), С(0: 0: 5) знайти велечину зовнішнього кута трикутника (у градусах) при вершині С.

Answer 1

Ответ:

$\overrightarrow{CA}(2-0;-1-0;3-5) \\ \overrightarrow{CA} (2;-1;-2)$

$\overrightarrow{CB}(1-0;1-0;1-5) \\\overrightarrow{CB}(1;1;-4)$

$\overrightarrow{CA} \times \overrightarrow{CB}= 2 \times 1 + (-1) \times 1 + (-2) \times (-4) =2-1+8=9$

$|\overrightarrow{CA}| = \sqrt{ {2}^{2} + {( - 1)}^{2} + {( - 2)}^{2} } = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$

$|\overrightarrow{CB}| = \sqrt{ {1}^{2} + {1}^{2} + {( - 4)}^{2} } = \sqrt{1 + 1 + 16} = \sqrt{18} = 3 \sqrt{2}$

Формула угла между векторами:

$\cos (\alpha) = \frac{\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| \times |\overrightarrow{b}|}$

$\cos( \alpha ) = \frac{9}{3 \times 3 \sqrt{2} } = \frac{9}{9 \sqrt{2} } = \frac{1}{ \sqrt{2} } = \frac{ \sqrt{2} }{2}$

$\alpha = \arccos( \frac{ \sqrt{2} }{2} ) \\ \alpha = {45}^{ \circ}$