Question

Задача.
У Васи есть 81 карточка: на девяти написана цифра 1, на других девяти — цифра 2, …, на последних девяти — цифра 9. Он выложил из всех карточек квадрат 9×9, а затем убрал из него девять карточек, лежащих на большой диагонали. Затем он заметил, что сумма всех чисел на карточках выше этой диагонали ровно в 3 раза больше суммы всех чисел на карточках ниже этой диагонали. Чему равна сумма чисел на девяти карточках, убранных Васей?
Решение.
Пусть A — сумма всех чисел над диагональю, B — сумма всех чисел под диагональю. Оценим величины A и B. Сумма A состоит из ? слагаемых и не больше, чем сумма ? ( наибольших/наименьших) возможных слагаемых. Таким образом, A не больше, чем ? . Аналогично сумма B состоит из ? слагаемых и не меньше, чем сумма ? (наибольших/наименьших) возможных слагаемых. То есть B не меньше, чем ?. Заметим, что наибольшее возможное значение A равно утроенному наименьшему возможному значению B. Это означает, что над главной диагональю обязаны стоять все ? (наибольшие/наименьшие) числа таблицы, а под ней — все ? (наибольшие/наименьшие) числа. Значит, числа на главной диагонали определяются однозначно, и их сумма равна ?.
Вместо знаков "?" нужно вставить число или слово из скобок.​

Answer 1

Ответ

Пусть A — сумма всех чисел над диагональю, B — сумма всех чисел под диагональю. Оценим величины A и B. Сумма A состоит из 36 слагаемых и не больше, чем сумма наибольших возможных слагаемых. Таким образом, A не больше, чем 270 . Аналогично сумма B состоит из 36 слагаемых и не меньше, чем сумма наименьших возможных слагаемых. То есть B не меньше, чем 90. Заметим, что наибольшее возможное значение A равно утроенному наименьшему возможному значению B. Это означает, что над главной диагональю обязаны стоять все наибольшие числа таблицы, а под ней — все наименьшие числа. Значит, числа на главной диагонали определяются однозначно, и их сумма равна 45.

Пошаговое объяснение: