Question

Задание приложено...

Answer 1

22.10

Применим метод математической индукции

Шаг 1 n=3 3³>4*3+1  неравенство выполняется

Шаг 2  n=k

Предполагаем, что неравенство имеет место при  n=k.

3^k>4k+1  (1)

Шаг 3 покажем , что неравенство имеет место при n=k+1

3^(k+1)=3*3^k  4(k+1)+1=4k+4+1

заменим 4k+1 на заведомо большее

найдем разницу

3*3^k - (4(k+1)+1)>3*3^k-3^k-4=3^k(3-1)-4=

=2*3^k-2*2=2*(3^k-2)>0

неравенство доказано

22.11

Применим метод математической индукции

Шаг 1 n=2 4²>3*2²+1  неравенство выполняется

Шаг 2  n=k

Предполагаем, что неравенство имеет место при  n=k.

4^k>3k²+1  (2)

Шаг 3 покажем , что неравенство имеет место при n=k+1

4^(k+1)=4*4^k      3(k+1)^2+1=3k^2+3+1+6k=(3k^2+1)+3+6k

заменим (3k^2+1) на заведомо большее

найдем разницу

4*4^k - ((3k^2+1)+3+6k)=4*4^k-4^k-6k-3=4^k(4-1)-3-6k=

=3*4^k-6k-3=3*(4^k-2k-1)>0

k>=2 положим k=2  4^2-2*2-1>0

неравенство доказано

Answer 2

Ответ:

22.10

$3^{n} > 4n + 1; n \in \mathbb N; n \geq 3$

$n = 3;$

$3^{3} \lor 4 \cdot 3 + 1$

$27 \lor 12 + 1$

$27 > 13 \Longrightarrow 3^{3} > 4 \cdot 3 + 1$

$n = k; \boxed{3^{k} > 4k + 1}$ - пусть верно

$3^{k} - 4k - 1 > 0$

$n = k + 1;3^{k + 1} > 4(k + 1) + 1$

$3^{k }\cdot 3^{1} > 4k + 4 + 1$

$3 \cdot 3^{k} > 4k + 5$

------------------------------------------------------

Необходимо доказать: $3 \cdot 3^{k} > 4k + 5$

$3 \cdot 3^{k} - 4k - 5 > 0$

$2 \cdot 3^{k} + (3^{k} - 4k - 1) - 4 > 0$

По индуктивному предположению $3^{k} - 4k - 1 > 0$

То, есть нужно доказать, что $2 \cdot 3^{k} - 4 > 0$

$2 \cdot 3^{k} > 4|:2$

$3^{k} > 2$

Прологарифмируем по основанию 3 неравенство ($3^{k} > 0$ по свойству показательной функции)

$\log_{3}{ 3^{k}} > \log_{3}{ 2}$

$k \log_{3}{ 3^} > \log_{3}{ 2}$

$k > \log_{3}{ 2}$

Оценим значение логарифма $\log_{3}{ 2}$

$\log_{3}{1} < \log_{3}{ 2} < \log_{3}{3}$

$0 < \log_{3}{ 2} < 1$

А минимальное $k$ по условию равно 3, то есть неравенство выполнено.

Так как сумма двух положительных чисел больше нуля, то утверждение для $n = k + 1$ верно.

Так как $\boxed{3 \cdot 3^{k} > 4k + 5}$, то неравенство $\boxed{3^{n} > 4n + 1; n \in \mathbb N; n \geq 3}$ доказано методом математической индукции.

22.11

$4^{n} > 3n^{2} + 1; n \in \mathbb N; n \geq 2$

$n = 2;$

$4^{2} \lor 3 \cdot 2^{2} + 1$

$16 \lor 3 \cdot 4 + 1$

$16 \lor 12 + 1$

$16 > 13 \Longrightarrow 4^{2} > 3 \cdot 2^{2} + 1$

$n = k; \boxed{4^{k} > 3k^{2} + 1}$ - пусть верно

$4^{k} - 3k^{2} - 1 > 0$

$n = k + 1;4^{k + 1} > 3( k + 1)^{2} + 1$

$4^{k} \cdot 4^{1} > 3( k^{2} +2k + 1) + 1$

$4\cdot4^{k} > 3k^{2} +6k + 3 + 1$

$4\cdot4^{k} > 3k^{2} +6k + 4$

------------------------------------------------------

Необходимо доказать: $4\cdot4^{k} > 3k^{2} +6k + 4$

$4\cdot4^{k} - 3k^{2} - 6k - 4 > 0$

$3 \cdot 4^{k} + (4^{k} - 3k^{2} - 1) - 6k - 3 > 0$

По индуктивному предположению $4^{k} - 3k^{2} - 1 > 0$

То, есть нужно доказать, что $3 \cdot 4^{k} - 6k - 3 > 0$

$3 \cdot 4^{k} - 6k - 3 > 0|:3$

$4^{k} - 2k - 1 > 0$

$k = 2;$

$4^{2} - 2 \cdot 2 - 1 \lor 0$

$16 - 4 - 1 > 0$

$11 > 0 \Longrightarrow 4^{2} - 2 \cdot 2 - 1 > 0$

$k = p; \boxed{ 4^{p} - 2p - 1 > 0}$ - пусть верно

$k = p + 1; 4^{p+ 1} - 2(p + 1) - 1 > 0$

$4^{p} \cdot 4^{1} - (2p + 2) - 1 > 0$

$4 \cdot4^{p} - 2p - 2 - 1 > 0$

------------------------------------------------------

Необходимо доказать: $4 \cdot4^{p} - 2p - 2 - 1 > 0$

$3 \cdot 4^{p} + (4^{p} - 2p - 1) - 2 > 0$

По индуктивному предположению $4^{p} - 2p - 1 > 0$

То, есть нужно доказать, что $3 \cdot 4^{p} - 2 > 0$

$3 \cdot 4^{p} > 2|:3$

$4^{p} > \dfrac{2}{3}$

Прологарифмируем по основанию 4 неравенство ($4^{p} > 0$ по свойству показательной функции)

$\log_{4}{ 4^{p}} > \log_{4}{ \dfrac{2}{3} }$

$p\log_{4}{ 4} > \log_{4}{ \dfrac{2}{3} }$

$p > \log_{4}{ \dfrac{2}{3} }$

Оценим значение логарифма $\log_{4}{ \dfrac{2}{3} }$

$\log_{4}{0,5} < \log_{4}{ \dfrac{2}{3} } < \log_{4}{4}$

$0,5 < \log_{4}{ \dfrac{2}{3} } < 1$

А минимальное $p$ по условию равно 2, то есть неравенство выполнено.

Так как сумма двух положительных чисел больше нуля, то утверждение для $k = p + 1$ верно.

Так как $\boxed{4 \cdot4^{p} - 2p - 2 - 1 > 0}$, то неравенство $\boxed{4^{k} - 2k - 1 > 0}$ доказано методом математической индукции.

Тогда так как $4^{k} - 2k - 1 > 0$ и $4^{k} - 3k^{2} - 1 > 0$, а сумма двух положительных чисел есть положительное число, то утверждение верно для $n = k + 1$, следовательно исходное неравенство тоже верно и методом математической индукции доказано, что

$\boxed{4^{n} > 3n^{2} + 1; n \in \mathbb N; n \geq 2}$