В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС угол при основании равен 80°. Точка D принадлежит стороне ВС. Известно, что BD = АС. Найти угол CAD.
Ответы
Ответ:
Угол CAD равен 70°
Объяснение:
Требуется найти угол CAD.
Дано: ΔАВС - равнобедренный;
∠А = ∠С = 80°; АВ = ВС;
D ∈ BC; BD = AC.
Найти: ∠CAD
Решение:
Дополнительное построение:
На стороне АВ построим равносторонний треугольник АВН.
Соединим точки Н и С.
1. Рассмотрим ΔАВС - равнобедренный.
- Сумма углов треугольника равна 180°.
⇒ ∠АВС = 180° - (80° + 80°) = 20°
2. Рассмотрим ΔАВН - равносторонний.
⇒ ∠АВН = ∠ВАН = ∠ВНА = 60°
∠СВН = 60° - ∠АВС = 60° - 20° = 40°
3. Рассмотрим ΔСВН.
АВ = ВС (условие)
АВ = ВН (построение)
⇒ ВС = ВН
ΔСВН - равнобедренный.
- Углы при основании равнобедренного треугольника равны.
⇒ ∠ВСН = ∠ВНС = (180° - 40°) : 2 = 70°
⇒ ∠АНС = 70° - 60° = 10°
4. Рассмотрим ΔАНС.
∠НAС = 80° - 60° = 20°
∠АНС = 10°
⇒ ∠АСН = 180° - (20° + 10°) = 150°
5. Рассмотрим ΔАВD и ΔАНС.
BD = AC (условие)
АВ = АН (построение)
∠АBD = ∠HAC = 20°
⇒ ΔАВD = ΔАНС (по двум сторонам и углу между ними, 1 признак)
∠ADB = ∠ACH = 150° (как соответственные элементы.
6. Рассмотрим ΔАDC.
- Смежные углы в сумме равны 180°.
⇒ ∠ADC = 180° - ∠ADB = 180° - 150° = 30°
∠ACB = 80°
⇒ ∠DAC = 180° - (80° + 30°) = 70°
Угол CAD равен 70°
