Question

Розв'яжіть рівняння: 2cos²10x - 6cos²5x + 1 = 0

Answer 1

Формула косинуса двойного угла:

$\cos2\alpha =2\cos^2\alpha -1$

Рассмотрим уравнение:

$2\cos^210x - 6\cos^25x + 1 = 0$

$2(2\cos^25x-1)^2 - 6\cos^25x + 1 = 0$

$2(4\cos^45x-4\cos^25x+1) - 6\cos^25x + 1 = 0$

$8\cos^45x-8\cos^25x+2 - 6\cos^25x + 1 = 0$

$8\cos^45x-14\cos^25x+3 = 0$

Решаем квадратное уравнение относительно квадрата косинуса:

$D_1=(-7)^2-8\cdot3=49-24=25$

$\cos^25x=\dfrac{7+\sqrt{25} }{8} =\dfrac{12}{8} =\dfrac{3}{2}$

Так как косинус принимает значения из отрезка $[-1;\ 1]$, то квадрат косинуса принимает значения из отрезка $[0;\ 1]$. Следовательно, значение $\dfrac{3}{2}$ квадрат косинуса принимать не может.

$\cos^25x=\dfrac{7-\sqrt{25} }{8} =\dfrac{2}{8} =\dfrac{1}{4}$

$\cos5x=\pm\dfrac{1}{2}$

Решаем два простых уравнения:

$\cos5x=\dfrac{1}{2}\Rightarrow 5x=\pm\arccos\dfrac{1}{2} +2\pi n \Rightarrow$

$\Rightarrow 5x=\pm\dfrac{\pi }{3} +2\pi n \Rightarrow x_1=\pm\dfrac{\pi }{15} +\dfrac{2\pi n}{5} , \ n\in\mathbb{Z}$

$\cos5x=-\dfrac{1}{2}\Rightarrow 5x=\pm\arccos\left(-\dfrac{1}{2}\right) +2\pi n \Rightarrow$

$\Rightarrow 5x=\pm\dfrac{2\pi }{3} +2\pi n \Rightarrow x_2=\pm\dfrac{2\pi }{15} +\dfrac{2\pi n}{5} , \ n\in\mathbb{Z}$

Ответ: $\pm\dfrac{\pi }{15} +\dfrac{2\pi n}{5} ;\ \pm\dfrac{2\pi }{15} +\dfrac{2\pi n}{5} , \ n\in\mathbb{Z}$