Найдите наименьшее значение суммы квадратов корней уравнения
![{x}^{2} - 2ax + 2 {a}^{2} - 6a + 8 = 0. {x}^{2} - 2ax + 2 {a}^{2} - 6a + 8 = 0.](https://tex.z-dn.net/?f=+%7Bx%7D%5E%7B2%7D+++-+2ax+%2B+2+%7Ba%7D%5E%7B2%7D++-+6a+%2B+8+%3D+0.)
(a - параметр).
Ответы
Ответ:
Решение
Рассмотрим уравнение
Согласно теореме Виета сумма корней приведенного квадратного уравнения равна среднему коэффициенту взятого с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену:
Найдем отсюда сумму квадратов:
Пусть , тогда подставим значения коэффициентов и найдем минимальное значение функции:
Функция является линейной, с положительным коэффициентом при a, то есть монотонно возрастает, значит меньшему значению аргумента соответствует меньшее значение функции
Из дискриминанта видно, что область определения a при которых имеются действительные решения равна [2;4]
Следовательно минимальное значение f(a) лежит в меньшем значении промежутка [2;4], то есть в a = 2
Полные Формулы
, тогда для действительных корней теорема Виета:
Формула корней через дискриминант:
Или половинный дискриминант (если b кратно 2):
Все это при