Question

Найдите такое четырехзначное число, в котором равны цифры тысяч и десятков, число сотен на 1 больше числа единиц, и кроме того, искомое число является полным квадратом целого числа.
(Указание: приходим к уравнению
${x}^{2} = 1010a + 101b + 100$
где x^2 - искомое число, a - число тысяч, b - число единиц)

Answer 1

Ответ: 8281  четырехзначное число, в котором равны цифры тысяч и десятков, число сотен на 1 больше числа единиц, и кроме того, искомое число является полным квадратом целого числа.

Объяснение:

Решал  недавно другу  такую-же задачу :)

Давайте распишем то как мы получили число  

$x^2=1010a+101b+100$

Допустим у нас  изначально было число

$\overline{adcb} = 1000a+100d+10c+b$

Из условия  :

В числе  $\overline{adcb}$  равны цифры тысяч и десятков

$a=c$

Также  число сотен на 1 больше числа единиц

$d=b+1$

Получим

$\overline{abcd} = 1000a+100d+10c+b= \\\\ 1000a+100(b+1)+10a+b = \\\\ 1000a+100b+100+10a+b = \\\\ 1010a+101b+100$

Нам известно что число $\overline{adcb}$  является полным квадратом

$1010a+101b+100 = x^2 \\\\ 1010a+101b=x^2-10^2$

Воспользуемся формулой разностей квадратов

a² - b² = (a-b)(a+b)

Тогда

$101(10a+b) = (x-10)(x+10)$

Теперь рассмотрим два случая

$\left [ \begin{array}{l}x-10=101\\\\ x+10=101\end{array} \right. \Leftrightarrow \left [ \begin{array}{l}x=111\\\\ x=91\end{array} \right.$

При возведении в квадрат  числа 100² = 10000 выходит пятизначное число  и т.к 111² > 100² ⇔ 111² > 10000  , то число 111 не подходит т.к по условию у нас четырехзначное число .

Рассмотрим случай когда  x = 91

$x^2= 91^2 = 8281$

Число 8281   подходит всем условиям задачи ,  оно и является
ответом