Question

Найти общее решение уравнения 5y''-3y'+2y=0

Answer 1

$5y''-3y'+2y=0$

Составим и решим характеристическое уравнение:

$5\lambda^2-3\lambda+2=0$

$D=(-3)^2-4\cdot5\cdot2=9-40=-31$

$\lambda=\dfrac{-(-3)\pm\sqrt{-31} }{2\cdot5} =\dfrac{3\pm i\sqrt{31} }{10} =\dfrac{3}{10} \pm\dfrac{\sqrt{31} }{10} i$

Если характеристическое уравнение имеет сопряженные корни $\alpha \pm\beta i$, то общее решение дифференциального уравнения записывается в виде:

$y=e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x +C_2\sin \beta x)$

Тогда, общее решение заданного уравнения:

$y=e^{0.3x}\left(C_1\cos\dfrac{\sqrt{31} }{10} x +C_2\sin\dfrac{\sqrt{31} }{10} x\right)$