На какой высоте должен находиться искуственный спутник земли , чтобы период его обращения вокруг Земли был бы равен 6400с?
Ответы
Ответ: Высота полета спутника ≈ 1078,347 км
Объяснение: Дано:
Масса Земли Мз = 5,9726⋅10^24 кг
Радиус Земли Rз = 6371 км = 6,371*10^6 м.
Период обращения спутника вокруг Земли Т = 6400с = 6,4*10³ с
Гравитационная постоянная G = 6,674*10^-11 м³/кг*с²
Найти высоту полета спутника h - ?
На высоте полета спутника ускорение свободного падения, создаваемое Землей, равно: gh = G*Мз/(R+h)². Это ускорение является центростремительным для спутника. С другой стороны центростремительное ускорение для спутника на высоте полета h будет равно: а = U²/(R+h). Здесь U – орбитальная скорость спутника. Поскольку ускорение свободного падения на высоте полета спутника является для спутника центростремительным ускорением, то можно записать, что gh = а. Тогда можно записать уравнение: G*Мз/(R+h)² = U²/(R+h) или G*Мз/(R+h) = U² ---------------------- (1)
Но, орбитальная скорость спутника будет так же равна: U = 2π(R+h)/Т. Возведя в квадрат это значение скорости и подставив его в выражение (1) имеем: G*Мз/(R+h) = 4π²(R+h)²/Т².
Отсюда (R+h)² = G*Мз*Т²/4π²(R+h).
Умножим левую и правую части уравнения на (R+h).
Имеем (R+h)³ = G*Мз*Т²/4π², или R+h = ∛(G*Мз*Т²/4π²) -------------- (2)
Из выражения (2) h = - R + ∛(G*Мз*Т²/4π²) =
= - 6,371*10^6 + ∛{6,674*10^-11* 5,9726⋅10^24*(6,4*10³)²/4π²} =
= - 6,371*10^6 + 7449346,815 ≈ 1078346,815 м ≈ 1078,347 км