Question

Окружность с центром О касается сторон угла с вершиной А в точках В и С. Перпендикуляр, опу щенный из точки В на другую сторо ну угла, пересекает прямую АО в точке М. Докажите, что отрезок ВМ равен радиусу данной окружности. (рис.)

Answer 1

Ответ:

Доказано, что отрезок ВМ равен радиусу данной окружности.

Объяснение:

Требуется доказать, что отрезок ВМ равен радиусу данной окружности.

Дано: Окр.О - вписана в ∠ВАС;

В и С - точки касания;

ВН ⊥ АС.

Доказать: ВМ = ОВ.

Доказательство:

1. Рассмотрим ΔАВО и ΔАОС.

• Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.

⇒ ΔАВО и ΔАОС - прямоугольные.

АО - общая;

• Радиус вписанной окружности лежит на биссектрисе угла.

⇒ ∠1 = ∠2.

⇒ ΔАВО = ΔАОС (по гипотенузе и острому углу)

∠3 = ∠4 (как соответственные элементы0

2. Рассмотрим ΔМВО.

• Если две прямые перпендикулярны третьей, то они параллельны между собой.

⇒ ОС || BH

∠4 = ∠6 (соответственные при  ОС || BH и секущей АО)

• Вертикальные углы равны.

⇒ ∠6 = ∠5 (вертикальные)

Из вышеперечисленных равенств углов

⇒ ∠3 = ∠5

• Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник равнобедренный.

⇒  ΔМВО - равнобедренный.

Значит ВМ = ОВ.