Question

Вычислите площадь фигуры, ограниченной кривыми. Сделайте чертеж.

y=x^2-3x-1, y=-x^2=2

Answer 1

Ответ:

Площадь фигуры равна $5\dfrac{5}{24}$  кв. ед.

Пошаговое объяснение:

Выполним рисунок. Графиком функции    $y=x^{2} -3x-1$     является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем координаты вершины параболы

$x{_0}= \dfrac{-b}{2a} ;\\\\x{_0}= \dfrac{3}{2}=1,5;\\\\y{_0}= (1,5)^{2} -3\cdot1,5-1=2,25-4,5-1=-3,25$

Определим еще несколько точек, по которым построим параболу

(0; -1) (1; -3), ( 2; -3) и (3; -1)

Графиком функции    $y=-x^{2} -2x+2$      является парабола, ветви которой направлены вниз . Найдем координаты вершины параболы

$x{_0}= \dfrac{-b}{2a} ;\\\\x{_0}= \dfrac{2}{-2}=-1;\\\\y{_0}=- 1^{2} -2\cdot(-1)+2=-1+2+2=3$

( -3; -1 )(-2; 2 ) (0; 2) и ( 1; -1)  - точки лежащие на этой параболе. Выполним рисунок и покажем фигуру, ограниченную данными параболами.

Найдем абсциссы точек пересечения, решив уравнение:

$x^{2} -3x-1=-x^{2} -2x+2;\\2x^{2} -x-3=0;\\D= (-1) ^{2} -4\cdot 2\cdot(-3)=1+24=25=5^{2} ;\\x{_1} =\dfrac{1-5}{4} =-\dfrac{4}{4} =-1;\\x{_2} =\dfrac{1+5}{4} =\dfrac{6}{4} =\dfrac{3}{2}=1,5$

Тогда найдем площадь фигуры, ограниченной параболами.

$S= \int\limits^{1,5}_{-1} {(-x^{2} -2x+2-x^{2} +3x+1)} \, dx = \int\limits^{1,5}_{-1} {(-2x^{2} +x+3)} \, dx =\\\\\left(-\dfrac{2x^{3} }{3} +\dfrac{x^{2} }{2} +3x\right) \left|^{1,5}_{-1}=$

$=\left(-\dfrac{2\cdot(1,5)^{3} }{3} +\dfrac{(1,5)^{2} }{2} +3\cdot1,5\right) -\left(-\dfrac{2\cdot(-1)^{3} }{3} +\dfrac{(-1)^{2} }{2} +3\cdot(-1)\right)=\\\\=\left(-2\cdot0,5\cdot2,25+\dfrac{2,25}{2} +4,5\right)-\left(\dfrac{2}{3} +\dfrac{1}{2} -3\right)=\\\\=-2,25+1,125+4,5+3-\dfrac{7}{6} = -1,125+7,5-\dfrac{7}{6}=7 \dfrac{1}{2} -1\dfrac{1}{8} -1\dfrac{1}{6} =$

$=5\dfrac{12-3-4}{24} =5\dfrac{5}{24}$

Значит, площадь фигуры равна $5\dfrac{5}{24}$  кв. ед.