Question

10. Три числа являются последовательными членами геометри-
ческой прогрессии. Если среднее из них увеличить в 2 раза,
то они станут последовательными членами арифметической
прогрессии. Найдите знаменатель геометрической прогрес-
сии

Answer 1

Пусть какие то три числа будут членами геометрической прогрессии

обозначим их

$\displaystyle b_1; b_1q; b_1q^2$

теперь среднее увеличим в 2 раза и получим арифметическую прогрессию

$\displaystyle b_1; 2b_1q; b_1q^2$

для арифметической прогрессии выполняется равенство

$\displaystyle 2b_1q-b_1=b_1q^2-2b_1q\\\\b_1(2q-1)=b_1(q^2-2q)\\\\q^2-4q+1=0\\\\D=16-4=12\\\\q_{1.2}=\frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2}=2 \pm\sqrt{3}$