Question

Решить пример, если а=пи/8

$\tan {}^{2} (a) - \sin {}^{2} (a) - \tan {}^{2} (a) \times \sin {}^{2} (a)$

Тема:основные соотношения между тригонометричными функциями одного аргумента​

Answer 1

Воспользуемся следствием из основного тригонометрического тождества:

$\sin^2x+\cos^2x=1\Rightarrow 1-\sin^2x=\cos^2x$

А также выражением для тангенса:

$\mathrm{tg}\,x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$

Получим:

$\mathrm{tg}^2\,a-\sin^2a-\mathrm{tg}^2\,a\sin^2a=\mathrm{tg}^2\,a-\mathrm{tg}^2\,a\sin^2a-\sin^2a=$

$=\mathrm{tg}^2\,a(1-\sin^2a)-\sin^2a=\mathrm{tg}^2\,a\cdot\cos^2a-\sin^2a=$

$=\dfrac{\sin^2a}{\cos^2a} \cdot\cos^2a-\sin^2a=\sin^2a-\sin^2a=0$

Для всех допустимых значений переменной заданное выражение принимает значение 0.

Выпишем ОДЗ, которое совпадает с ОДЗ тангенса:

$a\neq \dfrac{\pi}{2} +\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$

Поскольку при $a=\dfrac{\pi }{8}$ выражение определено, то оно при этом значении переменной принимает значение 0.

Ответ: 0