Question

Найти объем конуса, образующая которого равна 10 см и образует угол 30° с его высотой​​

Answer 1

Ответ:

l=10

Формула объема конуса: $V=\frac{1}{3} \pi {R}^{2} H$

Угол между образующей и плоскостью основания 180°-90°-30°=60°, потому что сумма внутренних углов треугольника 180°.

По теореме синусов, каждая сторона треугольника пропорциональна синусу противолежащего угла.

$\frac{R}{ \sin( {30}^{ \circ} ) } = \frac{l}{ \sin( {90}^{ \circ} ) } = \frac{H}{ \sin( {60}^{ \circ} ) }$

$\frac{10}{1} = \frac{R}{ \frac{1}{2} } \\ R = \frac{10}{2} \\ R = 5$

$\frac{10}{1} = \frac{H}{ \frac{ \sqrt{3} }{2} } \\ H = \frac{10 \sqrt{3} }{2} \\ H = 5 \sqrt{3}$

Теперь найдем объем:

$V = \frac{1}{3} \pi \times {5}^{2} \times 5 \sqrt{3} \\ V = \frac{1}{3} \pi \times 25 \times 5 \sqrt{3} \\ V = \frac{125 \sqrt{3} }{3} \pi$

Ответ: $V=\frac{125 \sqrt{3}}{3} \pi \: {см}^{3}$