Question

Решите систему уравнений

Answer 1

Ответ:

$(3;-2) \ ; \ (-3;2) \ ; \ (8;-0,75) \ ; \ (-8;0,75) \ ;$

Объяснение:

$\displaystyle \left \{ {{x^{2}+16y^{2}=73} \atop {xy=-6}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{x^{2}+16y^{2}=73} \atop {y=-\dfrac{6}{x}}} \right. ;$

$x^{2}+16 \cdot \bigg (-\dfrac{6}{x} \bigg )^{2}=73;$

$x^{2}+16 \cdot \dfrac{36}{x^{2}}=73 \quad \bigg | \cdot x^{2}$

$(x^{2})^{2}+16 \cdot 36=73x^{2};$

$(x^{2})^{2}-73x^{2}+576=0;$

Введём замену:

$x^{2}=t;$

Перепишем уравнение с учётом замены:

$t^{2}-73t+576=0;$

Решим уравнение при помощи теоремы Виета:

$\displaystyle \left \{ {{t_{1}+t_{2}=-(-73)} \atop {t_{1} \cdot t_{2}=576}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{t_{1}+t_{2}=73} \atop {t_{1} \cdot t_{2}=576}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{t_{1}=9} \atop {t_{2}=64}} \right. ;$

Вернёмся к замене:

$x^{2}=9 \quad \vee \quad x^{2}=64;$

$x=\pm \sqrt{9} \quad \vee \quad x=\pm \sqrt{64} \ ;$

$x=\pm 3 \quad \vee \quad x=\pm 8;$

V означает "или".

$x=3 \Rightarrow y=-6:3=-2; \quad (3;-2);$

$x=-3 \Rightarrow y=-6:(-3)=2; \quad (-3;2);$

$x=8 \Rightarrow y=-6:8=-0,75; \quad (8;-0,75);$

$x=-8 \Rightarrow y=-6:(-8)=0,75; \quad (-8;0,75);$