Question

Определить тип уравнения. Найти общее решение или решение,
удовлетворяющее заданным начальным условиям

Answer 1

Ответ:  $y=\dfrac{x^4}{8}-\dfrac{x^3}{6}+C_1\dfrac{(x-1)^2}{2}+C_2;\ y=\dfrac{x^4}{8}-\dfrac{x^3}{6}-\dfrac{3}{2}(x-1)^2+\dfrac{11}{6}.$

Пошаговое объяснение: ${}$ $y''-\dfrac{y'}{x-1}=x(x-1) -$  это линейное неоднородное уравнение 2-го порядка . Поскольку в уравнении в явном виде отсутствует $y,$ можно понизить порядок уравнения, сделав замену

$y'(x)=u(x).$  Но мы пойдем другим путем:

$\dfrac{(x-1)y''-y'}{(x-1)^2}=x; \left(\dfrac{y'}{x-1}\right)'=x;\ \dfrac{y'}{x-1}=\dfrac{x^2}{2}+C_1; y'=\dfrac{x^2(x-1)}{2}+C_1(x-1);$

$y'=\dfrac{x^3}{2}-\dfrac{x^2}{2}+C_1(x-1);\ y=\dfrac{x^4}{8}-\dfrac{x^3}{6}+\dfrac{C_1(x-1)^2}{2}+C_2.$

Это - общее решение. Чтобы найти частное решение, подставим начальные условия в выражения для производной и самой функции. Получаем

$-1=\dfrac{4}{2}+C_1;\ C_1=-3;$

$1=\dfrac{16}{8}-\dfrac{8}{6}+\dfrac{-3}{2}+C_2;\ C_2=\dfrac{11}{6}\Rightarrow$

$y=\dfrac{x^4}{8}-\dfrac{x^3}{6}-\dfrac{3}{2}(x-1)^2+\dfrac{11}{6}.$