Question

Решить подробно с чертежом

Answer 1

Ответ:

k - b = 14

Пошаговое объяснение:

Дана прямая у = kx, k> 1

она отражена относительно прямой у = х

полученная отраженная прямая выражена функцией

у = bx, причем k + b = 10√2

Найти k - b = ?

Решение:

Отражением графика функции y = f(x) относительно прямой у = х станет график, который можно задать такой функцией: х = f(y).

В нашем случае

$y = k \cdot{x} \: \to \: x = k \cdot{y} \: { < = > } \\ { < = > } \: y = k \cdot{x} \: \: \to \:\: y = \dfrac{x}{k}$

Соответственно, получается, что

$b \: = \frac{1}{k}$

Известно, что k + b = 10√2

$k+b=10\sqrt{2};\;\, b \: = \frac{1}{k} ;\;\, k > 1 \\ k + \frac{1}{k} = 10 \sqrt{2} \\ k - 10 \sqrt{2} + \frac{1}{k} = 0 \: \: \bigg| \times k > 1 \\ {k}^{2} - 10 \sqrt{2} k + 1 = 0$

Решаем данное квадратное уравнение

$D = (10 \sqrt{2} )^{2} - 4 \cdot1 \cdot1 = 200 - 4 = 196 \\ k = \frac{- ( - 10 \sqrt{2} ) \pm \sqrt{196} }{2} = \frac{10 \sqrt{2} \pm14}{2} \\ k = 5 \sqrt{2} \pm7 \: < = > \left[ \begin{array}{l} k = 5 \sqrt{2} + 7 \\k = 5 \sqrt{2} - 7 \end{array} \right.$

Очевидно, что 5√2 + 7 подходит.

Сравним с единицей 5√2 - 7

$5 \sqrt{2} - 7 \: \: \: u \: \: \: 1 \\( 5 \sqrt{2} - 7)(5 \sqrt{2} + 7) \: \: \: u \: \: \: 1(5 \sqrt{2} + 7) \\( {5} \sqrt{2} ) ^{2} - {7}^{2} \: \: \: u \: \: \: 5 \sqrt{2 } + 7 \\ 25 \cdot2 - 49\: \: \: u \: \: \: 5 \sqrt{2 } + 7 \\ \: \: \: 1 \: \: \: u \: \: \: 5 \sqrt{2 } + 7 \\ 1 \: < \: 5 \sqrt{2 } + 7 \: \: = > \: \: 5 \sqrt{2} - 7 \: < \: 1$

Значит, нам подходит только 1 значение k:

$k \ = 5 \sqrt{2} + 7 \:$

Найдем значение b

$b = \frac{1}{k} = \frac{1}{5 \sqrt{2} + 7 } = \frac{5 \sqrt{2} - 7 }{(5 \sqrt{2} + 7)(5 \sqrt{2} - 7) } = \\ \small = \frac{5 \sqrt{2} - 7}{(5 \sqrt{2} )^{2} - {7}^{2} } = \frac{5 \sqrt{2} - 7}{50 - 49 } = \frac{5 \sqrt{2} - 7}{1} \\ \\ b = \frac{1}{k} = 5 \sqrt{2} - 7$

Итак, мы получили:

${k} = 5 \sqrt{2} + 7 \\ b =5 \sqrt{2} - 7$

Проверим, вычислив значение k + b

$k + b = (5 \sqrt{2} { +} 7) + (5 \sqrt{2} { - }7) = \\ = 5 \sqrt{2} { +} 5 \sqrt{2} + 7 { - }7 = 5 \sqrt{2} { +} 5 \sqrt{2} = 10 \sqrt{2}$

Все верно

Теперь вычислим искомое значение k - b:

$k - b = (5 \sqrt{2} { +} 7) - (5 \sqrt{2} { - }7) = \\ \small = 5 \sqrt{2} - 5 \sqrt{2} + 7 { - }( - 7) = 7 + 7 = 14$

Ответ: k - b = 14