Question

[1] Решить задание...

Answer 1

направляющий вектор первой прямой {1;-2;-1}

вторую прямую перепишем

(х-1)/1= t ⇒х= t+1

(у-3)/(-3)= t ⇒у=-3 t+3

z/1= t⇒z= t

направляющий вектор {1;-3;1}

найдем скалярное произведение и модули векторов, а затем косинус угла между ними.

1*1-2*(-3)-1*1=6

√(1²+(-2)²+1²)=√6

√(1²+(-3)²+1²)=√11

cosφ=6/(√6*√11)=√(6/11)≈073854895; φ≈42°

расстояние между прямыми:

возьмем по точке на прямых, например, при  t=0, на первой прямой

М₁(2;1;-1), а на второй М₂(1;3;0)  координаты вектора →М₁М₂(-1;2;1)

найдем смешанное произведение векторов →М₁М₂;  {1;-2;-1}; {1;-3;1}

-121

1-2-1

1-31

видим. что первые две строки определителя  пропорциональны, т.е. смешанное произведение равно нулю. векторы компланарны. и расстояние между прямыми равно нулю.

Ответ 42°; 0

Answer 2

Ответ:

$l:\left\{\begin{array}{l}x=t+2\\y=-2t+1\\z=-t-1\end{array}\right\ \ ,\ \ \vec{s}_{1}=(1;-2;-1)\ ,\ M_1(2;1;-1)\ ,\\\\\\m:\ \dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-3}{-3}=\dfrac{z}{1}\ \ ,\ \ \vec{s_2}=(1;-3;1)\ \ ,\ \ M_2(1;3;0)$

Прямые не параллельны, так как координаты их направляющих векторов не пропорциональны .

Ищем расстояние между скрещивающимися прямыми как частное от деления модуля смешанного произведения направляющих векторов и вектора  М₁М₂ на модуль векторного произведения направляющих векторов:

$d=\dfrac{|\, (\vec{s}_1,\vec{s}_2,\overline{M_1M_2})\, |}{|\, [\vec{s}_1\times \vec{s}_2]\, |}\\\\\\ (\vec{s}_1,\vec{s}_2,\overline{M_1M_2})=\left|\begin{array}{ccc}1&-2&-1\\1&-3&1\\1-2&3-1&0+1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}1&-2&-1\\1&-3&1\\-1&2&1\end{array}\right|=$

$=1(-3-2)+2(1+1)-(2-3)=-5+4+1=0$

Получили, что смешанное произведение трёх векторов равно 0, значит прямые компланарны . Вычислять модуль векторного произведения, записанного в знаменателе, не имеет смысла. Расстояние между прямыми равно 0.

Косинус угла между прямыми находится по формуле  $cos\alpha =\dfrac{\vec{s}_1\cdot \vec{s}_1}{|\vec{s}_1|\cdot |\vec{s}_2|}$ .

$cos\alpha =\dfrac{1\cdot 1-2\cdot (-3)-1\cdot 1}{\sqrt{1^2+(-2)^2+(-1)^2}\cdot \sqrt{1^2+(-3)^2+1^2}}=\dfrac{6}{\sqrt{6}\cdot \sqrt{11}}=\sqrt{\dfrac{6}{11}}\approx 0,7385$  

Угол можно найти приближённо  $\alpha \approx 42,4^\circ$  .