в кубе a.....d1 найдите угол между прямыми ad1 и ca1
Ответы
Ответ:
90°
Объяснение:
Смотрите рисунок.
Проведем дополнительную диагональ A1D.
Он пересекается с AD1 в точке M - центре грани ADD1A1.
Возьмём точку N - середину ребра CD.
Проведем отрезок MN - среднюю линию треугольника A1CD.
Также проведем отрезок AN. Получается треугольник AMN.
Будем считать, что длина ребра куба равна 1.
Тогда диагональ грани AD1 = √2, а диагональ куба A1C = √3.
Средняя линия треугольника равна 1/2 параллельной стороны.
MN = 1/2*A1C = √3/2.
AM = 1/2*AD1 = √2/2.
В треугольнике ADN угол ∠ADN = 90°. По теореме Пифагора:
AN^2 = AD^2 + DN^2 = 1^2 + (1/2)^2 = 1 + 1/4 = 5/4
AN = √(5/4) = √5/2
Так как MN || A1C, то угол (AD1; A1C) равен углу (AM; MN).
По теореме косинусов для треугольника AMN:
AN^2 = AM^2 + MN^2 - 2*AM*MN*cos (AM; MN)
2*AM*MN*cos (AM; MN) = AM^2 + MN^2 - AN^2 = 2/4 + 3/4 - 5/4 = 0
cos (AM; MN) = 0
Угол (AM; MN) = (AD1; A1C) = 90°
