Question

В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с острым углом β. Все боковые ребра пирамиды равны l и образуют с ее высотой угол α. Найдите объем пирамиды.

Answer 1

В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с острым углом β. Все боковые ребра пирамиды равны l и образуют с ее высотой угол α. Найдите объем пирамиды.

Объяснение:

V(пирам)=1/3*S(осн)*h

1) Если все боковые ребра пирамиды равны между собой, то вершина пирамиды проецируется в центр описанной около основания окружности .

2) Пусть О-центр описанной окружности .В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы. Тогда ΔМОВ-прямоугольный ,∠ВМО=α,

ВО=ВМ*sinα , BO=L*sinα ⇒ AB=2L*sinα;

МО=ВМ*cosα , BO=L*cosα ⇒ h=L*cosα;

3) ΔABC-прямоугольный ,∠ABC=β ,

AC=AB*sinβ  , AC=2L*sinα *sinβ ;

ВC=AB*cosβ , BC=2L*sinα *cosβ .

S(ΔABC)=0,5*AC*BC

S(ΔABC)=0,5*(2L*sinα *sinβ)*(2L*sinα *cosβ )=L²*sinα*sinα*sin2β .

4) V(пирам)=1/3* L²*sinα*sinα*sin2β *L*cosα= 1/6*L³*sin2α*cos2β*cosα.