Question

Помогите вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций: y=x^2-4x+3, y=-x^2+6x-5

Answer 1

Ответ:

Нам надо найти площадь закрашенной области между этими графиками.

Найдем точки пересечения:

${x}^{2} - 4x + 3 = - {x}^{2} + 6x - 5 \\ 2 {x}^{2} - 10x + 8 = 0 \\ {x}^{2} - 5x + 4 = 0$

a=1, b=-5, c=4

D=b²-4ac

$D = {( - 5)}^{2} - 4 \times 1 \times 4 \\ D = 25 - 16 = 9$

$x = \frac{ - b \pm \sqrt{D} }{2a}$

$x = \frac{5 \pm \sqrt{9} }{2 \times 1} = \frac{5 \pm3}{2} = \{ \frac{5 + 3}{2}; \frac{5 - 3}{2} \} = \{4;1 \}$

Точки пересечения 1 и 4

В нужной нам области сверху зелёная функция, поэтому от зелёной отнимем синюю.

$\int_{1}^{4} - {x}^{2} +6x - 5 - ( {x}^{2} - 4x + 3)dx = \\ \int_{1}^{4} - {x}^{2} + 6x - 5 - {x}^{2} + 4x - 3dx = \\ \int_{1}^{4} - 2 {x}^{2} + 10x - 8 dx = \\ ( - 2 \times \frac{ {x}^{3} }{3} + 10 \times \frac{ {x}^{2} }{2} - 8x)| _{1}^{4} = \\ ( - \frac{2 {x}^{3} }{3} + 5 {x}^{2} - 8x) | _{1}^{4} = \\ - \frac{2 \times {4}^{3} }{3} + 5 \times {4}^{2} - 8 \times 4 - ( - \frac{2 \times {1}^{3} }{3} + 5 \times {1}^{2} - 8 \times 1) \\ - \frac{2 \times 64}{3} + 5 \times 16 - 32 - ( - \frac{2}{3} + 5 - 8) = \\ - \frac{128}{3} + 80 - 32 + \frac{2}{3} - 5 + 8 = \\ - \frac{126}{3} + 51 = - 42 + 51 = 9$

Площадь фигуры ограниченной функциями y=x²-4x+3 и y=-x²+6x-5 равна 9 квадратным единицам.