Question

Автопереход
Даша играла с пуговицами. Когда она попыталась разделить их на 3 равные кучки, осталась 1 пуговица. Тогда она попыталась поделить все эти пуговицы на 5 равных кучек, но осталось 4 пуговицы. Какое наименьшее количество пуговиц надо добавить, чтобы все пуговицы можно было разложить поровну и на 3 кучки, и на 5 кучек?

Answer 1

Ответ:

Даше нужно добавить 11 пуговиц, чтобы их общее число делилось и на 3 и на 5.

Объяснение:

Даша играла с пуговицами. Когда она попыталась разделить их на 3 равные кучки, осталась 1 пуговица. Тогда она попыталась поделить все эти пуговицы на 5 равных кучек, но осталось 4 пуговицы. Какое наименьшее количество пуговиц надо добавить, чтобы все пуговицы можно было разложить поровну и на 3 кучки, и на 5 кучек?

1) Общее число пуговиц делится с остатком на 3.

Пусть при делении количества пуговиц на 3 получается в частном число x.

Тогда всего пуговиц 3x + 1.

Пусть при делении количества пуговиц на 5 получается в частном число y.

Тогда всего пуговиц 5y + 4.

Эти количества равны.

3x + 1 = 5y + 4.

2) Выразим одну переменную через другую.

3x + 1 = 5y + 4;

3x = 5y + 4 - 1;

3x = 5y + 3;

$\displaystyle x = \frac{5y+3}{3} =\frac{5y}{3} +\frac{3}{3} =\frac{5y}{3} +1.$

3) Видим, что число 5y делится на 3, а значит y делится на 3.

Наименьшее целое положительное число, которое делится на 3 - это число 3.

Тогда y = 3.

$\displaystyle x =\frac{5 \cdot 3}{3} +1 = 5 + 1 =6.$

x = 6.

y = 3.

Всего пуговиц у Даши 19.

3 · 6 + 1 = 19

или

5 · 3 + 4 = 19.

4) Сколько пуговиц нужно добавить, чтобы их число делилось и на 3 и на 5?

Если мы добавим еще пуговицы, то их будет больше 19.

Ближайшее число, которое больше 19 и делится на 3 и на 5 - это число 30.

30 - 19 = 11 пуговиц.

Нужно добавить 11 пуговиц.